Determine o plano tangente a superfície dada, no ponto dado:
, no ponto
Passo 1
Temos a superfície paramétrica
e queremos o plano tangente em
. O que vamos usar: derivadas parciais para obter vetores tangentes e depois produto vetorial para achar o normal ao plano.
Passo 2
Primeiro, avaliamos o ponto na superfície:
Passo 3
Em seguida calculamos as derivadas parciais de
:
Passo 4
Agora avaliamos em
para obter os vetores tangentes no ponto:
Passo 5
O vetor normal ao plano tangente é dado pelo produto vetorial desses dois vetores:
Passo 6
Podemos simplificar
para
, pois só interessa a direção.
Finalmente, a equação cartesiana do plano tangente usando e o ponto
é
Finalmente, a equação cartesiana do plano tangente usando
Passo 7
Desenvolvendo:
Resposta
A equação do plano tangente é
.