Determine o plano tangente a superfície dada, no ponto dado:
sigma(u, v)=(u-v, u^2+v 2, u v), no ponto sigma(1,1)

Passo 1

Temos a superfície paramétrica sigma(u,v) = (u - v,; u^2 + v^2,; u v) e queremos o plano tangente em sigma(1,1). O que vamos usar: derivadas parciais para obter vetores tangentes e depois produto vetorial para achar o normal ao plano.

Passo 2

Primeiro, avaliamos o ponto na superfície:
sigma(1,1) = (1 - 1,; 1^2 + 1^2,; 1 cdot 1) = (0,;2,;1)

Passo 3

Em seguida calculamos as derivadas parciais de sigma:
sigmau(u,v) = l(1,;2u,;vr), sigmav(u,v) = l(-1,;2v,;ur)

Passo 4

Agora avaliamos em (u,v)=(1,1) para obter os vetores tangentes no ponto:
sigmau(1,1) = (1,;2,;1), sigmav(1,1) = (-1,;2,;1)

Passo 5

O vetor normal ao plano tangente é dado pelo produto vetorial desses dois vetores:
n = sigmau(1,1) times sigmav(1,1) = (1,2,1) times (-1,2,1) = (0,-2,4)

Passo 6

Podemos simplificar (0,-2,4) para (0,-1,2), pois só interessa a direção.
Finalmente, a equação cartesiana do plano tangente usando n = (0,-1,2) e o ponto (0,2,1) é
0,(x-0) -1,(y-2) +2,(z-1) = 0

Passo 7

Desenvolvendo:
-(y-2) +2(z-1) = 0
-y +2 +2z -2 = 0
-y +2z = 0

Resposta

A equação do plano tangente é y - 2z = 0.

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