Determine o plano tangente a superfície dada, no ponto dado:
sigma(u, v)=(cos u, sen u, v), no ponto sigma(pi2, 1)

Passo 1

O enunciado pede o plano tangente à superfície paramétrica sigma(u,v)=(cos u,sin u,v) no ponto sigma(tfracpi2,1). O conteúdo é geometria diferencial de superfícies: vamos usar derivadas parciais da parametrização e o vetor normal para montar a equação do plano.

Passo 2

Primeiro, calculamos as derivadas parciais da parametrização:
sigmau(u,v)=(-sin u,cos u,0),
sigmav(u,v)=(0,0,1)

Passo 3

Agora avaliamos em (u,v)=(tfracpi2,1). Como sin(tfracpi2)=1 e cos(tfracpi2)=0, obtemos
sigmau(tfracpi2,1)=(-1,0,0),
sigmav(tfracpi2,1)=(0,0,1)

Passo 4

Para achar o vetor normal ao plano tangente, fazemos o produto vetorial
n=sigmau(tfracpi2,1)timessigmav(tfracpi2,1)=( -1,0,0 )times(0,0,1)=(0,1,0)

Passo 5

Finalmente, montamos a equação do plano usando o ponto (0,1,1) e o vetor normal (0,1,0):
ncdotl((x,y,z)-(0,1,1)r)=0
Isso dá
0(x-0)+1(y-1)+0(z-1)=0
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y-1=0
ou seja y=1.

Resposta

y=1

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