Determine se as seguintes séries convergem ou divergem.
sumn=1^infty n e^-n^3

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a série sumn=1^infty n e^-n^3 converge ou diverge. O conteúdo principal é teste de convergência de séries numéricas, e aqui vamos usar o teste da razão, que compara termos consecutivos para verificar convergência absoluta.

Passo 2

Vamos aplicar o teste da razão. Definimos an = n e^-n^3 e calculamos
limntoinfty |an+1an| = limntoinfty (n+1)e^-(n+1)^3n e^-n^3 = limntoinfty n+1n ;e^-l((n+1)^3 - n^3r) = limntoinfty l(1+1nr)e^-(3n^2+3n+1) = 0
Como o limite da razão é <1, a série sum an converge absolutamente.

Passo 3

Quando o teste da razão mostra que a série converge absolutamente, concluímos que a série original também converge. Portanto, sumn=1^infty n e^-n^3 converge.

Resposta

A série converge (convergência absoluta).

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