Parametrize o conjunto dado
Conjunto obtido pela rotação em torno do eixo da curva e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para parametrizar o conjunto que resulta da rotação da curva dada ao redor do eixo . A curva em questão é definida por e , onde . Isso pertence ao conteúdo de Geometria Analítica e Cálculo, especialmente envolvendo rotações no espaço tridimensional. Para resolver, vamos precisar entender como parametrizar superfícies geradas por rotações e usar coordenadas cilíndricas.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a curva original. A equação significa que a curva está no plano . E , com , descreve uma exponencial que cresce à medida que aumenta. Então, temos uma curva que começa no ponto e sobe exponencialmente no plano .
Passo 3
Agora, queremos rotacionar essa curva ao redor do eixo . Quando giramos uma curva no espaço ao redor do eixo , cada ponto da curva descreve um círculo com raio igual à distância do ponto ao eixo . Nesse caso, como , a distância ao eixo é simplesmente .
Passo 4
Para parametrizar a superfície gerada por essa rotação, vamos usar coordenadas cilíndricas, que são muito úteis para trabalhar com rotações ao redor de um eixo. Em coordenadas cilíndricas, um ponto é definido por , onde é a distância ao eixo , é o ângulo de rotação, e é a altura.
Passo 5
A curva original tem e . Ao rotacionar ao redor de , varia de a para cobrir toda a volta. Então, podemos expressar em termos de : . Substituindo na equação de , temos .
Passo 6
Agora, juntando tudo, nossa parametrização fica em termos de e . Então, temos: