Parametrize o conjunto dado
Conjunto obtido pela rotação em torno do eixo z da curva y=0 e z=e^x, x >= 0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para parametrizar o conjunto que resulta da rotação da curva dada ao redor do eixo z. A curva em questão é definida por y=0 e z=e^x, onde x >= 0. Isso pertence ao conteúdo de Geometria Analítica e Cálculo, especialmente envolvendo rotações no espaço tridimensional. Para resolver, vamos precisar entender como parametrizar superfícies geradas por rotações e usar coordenadas cilíndricas.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a curva original. A equação y=0 significa que a curva está no plano xz. E z = e^x, com x >= 0, descreve uma exponencial que cresce à medida que x aumenta. Então, temos uma curva que começa no ponto (0, 0, 1) e sobe exponencialmente no plano xz.

Passo 3

Agora, queremos rotacionar essa curva ao redor do eixo z. Quando giramos uma curva no espaço ao redor do eixo z, cada ponto da curva descreve um círculo com raio igual à distância do ponto ao eixo z. Nesse caso, como y=0, a distância ao eixo z é simplesmente x.

Passo 4

Para parametrizar a superfície gerada por essa rotação, vamos usar coordenadas cilíndricas, que são muito úteis para trabalhar com rotações ao redor de um eixo. Em coordenadas cilíndricas, um ponto é definido por (r, theta, z), onde r é a distância ao eixo z, theta é o ângulo de rotação, e z é a altura.

Passo 5

A curva original tem r = x e z = e^x. Ao rotacionar ao redor de z, theta varia de 0 a 2pi para cobrir toda a volta. Então, podemos expressar x em termos de r: x = r. Substituindo na equação de z, temos z = e^r.

Passo 6

Agora, juntando tudo, nossa parametrização fica em termos de r e theta. Então, temos:
x = r cos theta y = r sin theta z = e^r
Onde r >= 0 e 0 <= theta < 2pi.

Resposta

A parametrização do conjunto é:
x = r cos theta y = r sin theta z = e^r
com r >= 0 e 0 <= theta < 2pi.

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