Determine o plano tangente à superfície dada, no ponto dado.
, no ponto
.
Passo 1
No enunciado temos uma superfície parametrizada por σ(u,v) = (arctan(uv), e{u2−v^2}, u−v) e precisamos achar o plano tangente no ponto dado por (u,v)=(1,−1). Vamos usar derivadas parciais, produto vetorial e a equação geral de um plano no espaço.
Passo 2
O ponto em que o plano tangente toca a superfície é P = σ(1,−1). Calculando: uv = −1 ⇒ arctan(−1)=−π/4; u2−v2=1−1=0 ⇒ e^0=1; u−v=1−(−1)=2. Logo P=(-π/4, 1, 2).
Para montar o plano tangente, precisamos das derivadas parciais de σ. Chamando σ(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v)), temos: ∂x/∂u = v/(1+(uv)^2), ∂x/∂v = u/(1+(uv)^2); ∂y/∂u = 2u e{u2−v^2}, ∂y/∂v = −2v e{u2−v^2}; ∂z/∂u = 1, ∂z/∂v = −1.
Para montar o plano tangente, precisamos das derivadas parciais de σ. Chamando σ(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v)), temos: ∂x/∂u = v/(1+(uv)^2), ∂x/∂v = u/(1+(uv)^2); ∂y/∂u = 2u e{u2−v^2}, ∂y/∂v = −2v e{u2−v^2}; ∂z/∂u = 1, ∂z/∂v = −1.
Passo 3
Avaliaremos essas derivadas em (u,v)=(1,−1). Como 1+(uv)^2=1+1=2, temos r_u(1,−1)=(-1/2, 2, 1) e r_v(1,−1)=(1/2, 2, −1).
O vetor normal ao plano tangente é dado pelo produto vetorial N = r_u × r_v. Calculando, encontramos N = (-4, 0, -2), que podemos simplificar para N = (2, 0, 1).
O vetor normal ao plano tangente é dado pelo produto vetorial N = r_u × r_v. Calculando, encontramos N = (-4, 0, -2), que podemos simplificar para N = (2, 0, 1).
Passo 4
A forma geral do plano que passa por P=(-π/4,1,2) e tem normal N=(2,0,1) é N·((x,y,z)−P)=0, ou seja: 2(x+π/4)+0·(y−1)+1·(z−2)=0.