Exercício 14: Inverta a ordem de integração.
.
Passo 1
Estamos com a integral iterada
. O conteúdo aqui é mudança de ordem de integração em integrais duplas: vamos precisar entender a região de integração no plano
e depois reescrever os limites trocando
com
.
Passo 2
A região de integração
está dada por
Isso vem dos limites originais: primeiro
vai de 0 a 1, e para cada
o
vai de
até
.
Passo 3
Projetamos
no eixo
para achar o intervalo total de
. O menor
ocorre em
com
. O maior ocorre em
com
. Logo
Passo 4
Para um
fixo, os
que ainda pertencem a
devem satisfazer simultaneamente
e
Portanto,
Passo 5
As funções
e
trocam de fórmula em três faixas de
:
- Para
: e , então . - Para
: e , então . - Para
: e , então .
Passo 6
Finalmente, reescrevemos a integral invertida somando as três parcelas correspondentes a cada faixa de
.