Exercício 14: Inverta a ordem de integração.
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Passo 1

Estamos com a integral iterada integral0^1l[integraly^y+3 f(x,y),dxr],dy. O conteúdo aqui é mudança de ordem de integração em integrais duplas: vamos precisar entender a região de integração no plano (x,y) e depois reescrever os limites trocando x com y.

Passo 2

A região de integração R está dada por
R=(x,y)mid 0<= y<=1,;y<= x<= y+3
Isso vem dos limites originais: primeiro y vai de 0 a 1, e para cada y o x vai de y até y+3.

Passo 3

Projetamos R no eixo x para achar o intervalo total de x. O menor x ocorre em y=0 com x=y=0. O maior ocorre em y=1 com x=y+3=4. Logo
0<= x<=4

Passo 4

Para um x fixo, os y que ainda pertencem a R devem satisfazer simultaneamente
0<= y<=1,
y<= x
e
x<= y+3iff y>= x-3
Portanto,
yin [max(0,,x-3),,min(x,,1)]

Passo 5

As funções max(0,x-3) e min(x,1) trocam de fórmula em três faixas de x:
  • Para 0<= x<=1: x-3<=0 e x<=1, então yin[0,x].
  • Para 1<= x<=3: x-3<=0 e x>=1, então yin[0,1].
  • Para 3<= x<=4: x-3>=0 e x>=1, então yin[x-3,1].

Passo 6

Finalmente, reescrevemos a integral invertida somando as três parcelas correspondentes a cada faixa de x.

Resposta

integral0^1!integral0^x f(x,y),dy,dx , +, integral1^3!integral0^1 f(x,y),dy,dx , +, integral3^4!integralx-3^1 f(x,y),dy,dx.

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