Exercício 14: Inverta a ordem de integração.
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Passo 1

A integral dada é
integral0^1gl[integral-raizy^raizyf(x,y),dxgr],dy
Conteúdo: mudança de ordem de integração em integrais duplas.

Passo 2

O domínio de integração é definido por 0≤y≤1 e -√y≤x≤√y. Em termos de conjunto, temos
$$
D={(x,y)\mid 0\le y\le1,,-\sqrt{y}\le x\le\sqrt{y}}\n$$
Para inverter a ordem, projetamos D no eixo x. Como -√y≤x≤√y e 0≤y≤1, vemos que x²≤y≤1 e |x|≤1. Logo x varia de -1 a 1 e, para cada x fixo, y varia de x² até 1.

Passo 3

Portanto, reescrevendo a integral com x externo e y interno, obtemos
integral-1^1gl[integralx^2^1f(x,y),dygr],dx

Resposta

integral-1^1integralx^2^1f(x,y),dy,dx

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