Exercício 14: Inverta a ordem de integração.
;
Passo 1
A integral dada é
Conteúdo: mudança de ordem de integração em integrais duplas.
Passo 2
O domínio de integração é definido por 0≤y≤1 e -√y≤x≤√y. Em termos de conjunto, temos
$$
D={(x,y)\mid 0\le y\le1,,-\sqrt{y}\le x\le\sqrt{y}}\n$$
Para inverter a ordem, projetamos D no eixo x. Como -√y≤x≤√y e 0≤y≤1, vemos que x²≤y≤1 e |x|≤1. Logo x varia de -1 a 1 e, para cada x fixo, y varia de x² até 1.
Para inverter a ordem, projetamos D no eixo x. Como -√y≤x≤√y e 0≤y≤1, vemos que x²≤y≤1 e |x|≤1. Logo x varia de -1 a 1 e, para cada x fixo, y varia de x² até 1.
Passo 3
Portanto, reescrevendo a integral com x externo e y interno, obtemos