Determine o plano tangente à superfície com eq. paramétrica x=u^2, y=v^2, z=u+2 v no ponto (1,1,3).
[
(x+2 y-2 z=-3)

Passo 1

Temos uma superfície parametrizada por X(u,v)=(u^2,,v^2,,u+2v). O conteúdo envolve derivadas parciais, produto vetorial para achar o vetor normal e a equação de plano. Nosso objetivo é encontrar o plano tangente no ponto (1,1,3).

Passo 2

Para saber quais valores de (u,v) geram o ponto (1,1,3), imponho as condições da parametrização: u^2=1, v^2=1 e u+2v=3. A única solução que satisfaz todas é (u,v)=(1,1).

Passo 3

Calculo os vetores tangentes via derivadas parciais: Xu=(2u,0,1) e Xv=(0,2v,2). Avaliando em (1,1) obtenho Xu(1,1)=(2,0,1) e Xv(1,1)=(0,2,2).

Passo 4

O vetor normal ao plano tangente é dado pelo produto vetorial n=XutimesXv. Fazendo o cálculo vemos que n=(-2,-4,4), que podemos simplificar para (1,2,-2).

Passo 5

A equação do plano tangente passa por (1,1,3) e tem normal (1,2,-2). Logo
(1,2,-2)cdot(x-1,,y-1,,z-3)=0
e, ao expandir, chega-se a
x+2y-2z=-3

Resposta

x + 2y - 2z = -3

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