Determine o valor médio das seguintes funções ao longo do intervalo dado:
f(x)=-x^22 em [0,2]

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o valor médio da função f(x)=–x²/2 no intervalo [0,2]. O conteúdo aqui é o valor médio de uma função num intervalo, e vamos precisar da definição de valor médio e de calcular uma integral definida.

Passo 2

A definição de valor médio de uma função f em [a,b] é dada por:
fméd = 1b - a integrala^b f(x),dx é

Passo 3

Primeiro, calculamos a integral de f(x)=–x²/2 de 0 a 2. Escrevemos:
integral0^2 l(-tfracx^22r),dx = -tfrac12 integral0^2 x^2,dx
Usando a fórmula integral x^n,dx = x^n+1/(n+1), temos o antiderivado de x^2 igual a x^3/3.

Passo 4

Então o antiderivado de -tfracx^22 é:
-tfrac12 cdot x^33 = -x^36
Avaliando de 0 a 2, obtemos:
-2^36 - l(-0^36r) = -86 = -43

Passo 5

Por fim, aplicamos a definição do valor médio com a integral já calculada:
fméd = 12-0 cdot l(-43r) = 12 cdot l(-43r) = -23 é

Resposta

-2/3

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