Use integração por partes para calcular as seguintes integrais:

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral0^pi x,sinl(x2r),dx
usando o método de integração por partes. O conteúdo envolvido é cálculo integral, em especial a técnica de integração por partes, e vamos precisar da fórmula
integral u,dv = u,v - integral v,du
além da antiderivada de sin(x/2).

Passo 2

A ideia da integração por partes é separar a integral em pedaços que simplifiquem o cálculo. Escolhemos
u = x, dv = sinl(x2r),dx
Então temos
du = dx,
e precisamos encontrar
v = integral sinl(x2r),dx
Como ddxcos(x/2) = -tfrac12sin(x/2), segue que
integral sinl(x2r),dx = -2cosl(x2r)

Passo 3

Aplicando a fórmula de integração por partes obtemos
integral0^pi x,sinl(x2r),dx = l[x cdot (-2cos(tfracx2))r]0^pi - integral0^pi l(-2cos(tfracx2)r),dx
Isso simplifica para
= l[-2xcosl(x2r)r]0^pi + 2integral0^picosl(x2r),dx

Passo 4

Vamos calcular o primeiro termo de contorno:
-2xcosl(x2r)l|0^pi = -2l(picos(tfracpi2) - 0cos(0)r) = -2(picdot0 - 0cdot1) = 0

Passo 5

Agora a integral restante:
integral0^picosl(x2r),dx
Sabemos que a antiderivada é
integral cosl(x2r),dx = 2sinl(x2r)
e, avaliando de 0 a pi:
2sinl(pi2r) - 2sin(0) = 2cdot1 - 0 = 2
Multiplicando pelo fator 2 que ficou fora, temos 2times2 = 4.

Passo 6

Somando tudo, o valor da integral é
0 + 4 = 4

Resposta

4

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