Determine o plano tangente à superfície com equações paramétricas
x=u^2, y=v^3 z=u+2 v
no ponto (1, 1, 3).

Passo 1

O enunciado pede o plano tangente à superfície parametrizada
x = u^2, y = v^3, z = u + 2v
no ponto (1,1,3). O conteúdo necessário inclui encontrar os parâmetros (u,v) que geram esse ponto, calcular os vetores tangentes partial r/partial u e partial r/partial v e usar o produto vetorial para obter a normal ao plano.

Passo 2

Primeiro determinamos (u,v) tal que
u^2 = 1, v^3 = 1, u + 2v = 3
Daí v = 1. Substituindo em u^2 = 1 e em u + 2cdot1 = 3 vemos que u=1 satisfaz ambas as equações. Logo o ponto (1,1,3) corresponde a (u,v)=(1,1).

Passo 3

Calculamos os vetores tangentes ru e rv. A parametrização é
r(u,v) = l(u^2,;v^3,;u+2vr),
portanto
ru(u,v) = l(2u,;0,;1r), rv(u,v) = l(0,;3v^2,;2r)
Em (u,v)=(1,1) temos
ru(1,1) = (2,0,1), rv(1,1) = (0,3,2)

Passo 4

A normal ao plano é dada pelo produto vetorial
n = ru(1,1)times rv(1,1) = i&j&k 2&0&1 0&3&2 = (-3,,-4,,6)
Para simplificar podemos usar n=(3,4,-6), que é proporcional.

Passo 5

O plano tangente em (x0,y0,z0)=(1,1,3) com normal n=(A,B,C) satisfaz
A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0
Aqui A=3, B=4, C=-6, então
3(x-1)+4(y-1)-6(z-3)=0
Desenvolvendo,
3x+4y-6z+11=0

Resposta

A equação do plano tangente é
3x + 4y - 6z + 11 = 0

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