Uma partícula move-se ao longo de uma reta horizontal de forma que sua coordenada no instante t seja x=raizb^2+c^2 t^2, t >= 0. onde b, c são constantes positivas.
a) encontre as funções velocidade e aceleração.
b) mostre que a partícula se move sempre no sentido positivo.

Passo 1

O enunciado dá a posição da partícula ao longo de uma reta como
x(t)=raizb^2+c^2t^2, t>=0,
com b,c>0. O conteúdo aqui é derivação para obter velocidade e aceleração, e análise do sinal da velocidade para determinar o sentido do movimento.

Passo 2

Para encontrar a velocidade v(t)=dxdt, aplicamos a regra da cadeia:
v(t) =ddtl(b^2+c^2t^2r)^1/2 =12l(b^2+c^2t^2r)^-1/2cdot 2c^2t =c^2traizb^2+c^2t^2

Passo 3

Para a aceleração a(t)=dvdt, usamos a regra do quociente ou produto. O resultado é
a(t) =ddt!l(c^2t(b^2+c^2t^2)^1/2r) =c^2b^2l(b^2+c^2t^2r)^3/2

Passo 4

Como b^2+c^2t^2>0 para todo t>=0, nota-se que v(t)=c^2traizb^2+c^2t^2>=0. Isso mostra que a velocidade nunca fica negativa, ou seja, a partícula se desloca sempre no sentido positivo.

Resposta

a)
v(t)=c^2traizb^2+c^2t^2, a(t)=c^2b^2l(b^2+c^2t^2r)^3/2
b)
Como v(t)>=0 para todo t>=0, a partícula se move sempre no sentido positivo.

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