Mostre que qualquer campo vetorial da forma
F(x, y, z)=f(y, z) i+g(x, z) j+h(x, y) k

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que todo campo vetorial da forma
F(x,y,z)=f(y,z),i+g(x,z),j+h(x,y),k
tem divergência nula. O conteúdo envolvido é o conceito de divergência de um campo vetorial e o uso de derivadas parciais.

Passo 2

Lembrando que, para um campo F=(F1,F2,F3), a divergência é dada por
nablacdotF =partial F1partial x +partial F2partial y +partial F3partial z

Passo 3

No nosso caso F1(x,y,z)=f(y,z), logo
partial F1partial x =partialpartial xf(y,z) =0
porque f não depende de x. De modo análogo,
partial F2partial y =partialpartial yg(x,z) =0, partial F3partial z =partialpartial zh(x,y) =0

Passo 4

Somando estas três parcelas, obtemos
nablacdotF =0+0+0 =0
Portanto, qualquer campo da forma dada tem divergência identicamente zero.

Resposta

nablacdotF=0

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