Uma partícula se move sobre uma reta vertical de forma que sua coordenada no instante seja .
a) encontre as funções velocidade e aceleração.
b) quando a partícula se move para cima ? E para baixo ?
c) encontre a distância percorrida pela partícula no intervalo de tempo .
Passo 1
O enunciado nos dá a posição de uma partícula ao longo de uma reta vertical por
e pede:
a) as funções velocidade e aceleração ;
b) os intervalos em que a partícula se move para cima (velocidade positiva) e para baixo (velocidade negativa);
c) a distância total percorrida no intervalo .
Vamos usar derivação para obter velocidade e aceleração, análise do sinal da velocidade para o movimento, e cálculo de distâncias pelo valor absoluto das variações de posição.
Passo 2
A velocidade é a derivada primeira de . Logo,
A aceleração é a derivada de . Assim,
Passo 3
Para saber quando a partícula sobe ou desce, achamos as raízes de :
Fazendo estudo de sinais de :
Para , logo (movimento para baixo).
Para , logo (movimento para cima).
Passo 4
A distância total é a integral de de a , mas como há mudança de sinal em , dividimos em dois trechos: