Uma partícula se move sobre uma reta vertical de forma que sua coordenada no instante t seja y=t^3-12 t+3, t >= 0.
a) encontre as funções velocidade e aceleração.
b) quando a partícula se move para cima ? E para baixo ?
c) encontre a distância percorrida pela partícula no intervalo de tempo 0 <= t <= 3.

Passo 1

O enunciado nos dá a posição de uma partícula ao longo de uma reta vertical por
y(t)=t^3-12t+3, t>=0
e pede:
a) as funções velocidade v(t) e aceleração a(t);
b) os intervalos em que a partícula se move para cima (velocidade positiva) e para baixo (velocidade negativa);
c) a distância total percorrida no intervalo 0<= t<=3.
Vamos usar derivação para obter velocidade e aceleração, análise do sinal da velocidade para o movimento, e cálculo de distâncias pelo valor absoluto das variações de posição.

Passo 2

A velocidade é a derivada primeira de y(t). Logo,
v(t)=dydt=3t^2-12
A aceleração é a derivada de v(t). Assim,
a(t)=dvdt=6t

Passo 3

Para saber quando a partícula sobe ou desce, achamos as raízes de v(t)=0:
3t^2-12=0 Longrightarrow t^2=4 Longrightarrow t=2;(t>=0)
Fazendo estudo de sinais de v(t)=3(t^2-4):
  • Para 0<= t<2, t^2-4<0 logo v(t)<0 (movimento para baixo).
  • Para t>2, t^2-4>0 logo v(t)>0 (movimento para cima).

Passo 4

A distância total é a integral de |v(t)| de 0 a 3, mas como há mudança de sinal em t=2, dividimos em dois trechos:
  1. Distância de t=0 a t=2 (velocidade negativa):
y(0)=3, y(2)=2^3-12cdot2+3=-13,
distância neste trecho l|y(2)-y(0)r|=|-13-3|=16.
  1. Distância de t=2 a t=3 (velocidade positiva):
y(3)=3^3-12cdot3+3=-6,
distância neste trecho l|y(3)-y(2)r|=|-6-(-13)|=7.
Somando os dois trechos, a distância total é 16+7=23.

Resposta

a) v(t)=3t^2-12, a(t)=6t
b) A partícula desce (movimenta-se para baixo) em 0<= t<2 e sobe em t>2.
c) A distância percorrida em 0<= t<=3 é 23.

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