Determine o plano tangente à superfície da função f(x, y) dada no ponto P dado.
f(x, y)=3(x-1)^2+2(y+3)^2+7, P=(2,-2,12)

Passo 1

O enunciado pede o plano tangente à superfície z = f(x,y) no ponto P=(2,-2,12), onde
f(x,y)=3(x-1)^2+2(y+3)^2+7
O conteúdo envolvido é o uso de derivadas parciais para obter o gradiente e montar a equação do plano tangente.

Passo 2

Calcule as derivadas parciais de f. Temos
partial fpartial x(x,y) =3cdot2(x-1)=6(x-1), partial fpartial y(x,y) =2cdot2(y+3)=4(y+3)

Passo 3

Avalie as derivadas parciais no ponto (x0,y0)=(2,-2):
partial fpartial x(2,-2)=6(2-1)=6, partial fpartial y(2,-2)=4(-2+3)=4

Passo 4

A equação do plano tangente a z=f(x,y) em (x0,y0,z0) é
z - z0 =partial fpartial x(x0,y0),(x - x0) +partial fpartial y(x0,y0),(y - y0)
Substituindo (x0,y0,z0)=(2,-2,12) e os valores das parciais,
z - 12 = 6,(x-2) + 4,(y+2)

Passo 5

Simplifique a equação:
z - 12 = 6x - 12 + 4y +8 ;;Longrightarrow;; z = 6x + 4y +8

Resposta

O plano tangente é
boxedz = 6x + 4y + 8

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