Encontre o limite das seguintes funções exponenciais.
lim x infty(1-3x)^x

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
limxtoinftyl(1-3xr)^x
Esse é um exemplo clássico de limite exponencial do tipo (1+tfracax)^xto e^a. Para resolver, vamos usar a transformação logarítmica.

Passo 2

Definimos
L = limxtoinftyl(1-3xr)^x
e analisamos o logaritmo natural
ln L = limxtoinfty x ,ln!l(1-3xr)
Isso converte a potência em produto e permite usar séries.

Passo 3

Para xtoinfty temos u=-tfrac3xto0, então aplicamos
ln(1+u)=u-u^22+o(u^2)
Com u=-tfrac3x obtemos
lnl(1-3xr) =-3x-12l(-3xr)^2+ol(1x^2r) =-3x-92x^2+ol(1x^2r)
Multiplicando por x:
xlnl(1-3xr) =-3-92x+ol(1xr);longrightarrow;-3
Logo ln L=-3.

Passo 4

Exponenciando ambos os lados segue
L = e^-3

Resposta

limxtoinftyl(1-3xr)^x = e^-3

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