Determine o plano tangente à superfície da função f(x, y) dada no ponto P dado.
f(x, y)=raizx y, P=(1,1,1)

Passo 1

O enunciado pede o plano tangente à superfície definida por
z = f(x,y) = raizx,y
no ponto P=(1,1,1). O conteúdo da matéria é derivadas parciais e equação do plano tangente a uma superfície de duas variáveis.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de f. Como f(x,y)= (x,y)^1/2, usamos a regra da cadeia:
fx(x,y) = 12(x,y)^-1/2cdot y = y2raizx,y,
fy(x,y) = 12(x,y)^-1/2cdot x = x2raizx,y
Em P=(1,1) temos
fx(1,1)=12, fy(1,1)=12

Passo 3

A equação geral do plano tangente a z=f(x,y) em (x0,y0,z0) é
z - z0 = fx(x0,y0),(x - x0) + fy(x0,y0),(y - y0)
Aqui (x0,y0,z0)=(1,1,1) e fx(1,1)=fy(1,1)=tfrac12.

Passo 4

Substituindo na fórmula:
z - 1 = tfrac12,(x - 1) + tfrac12,(y - 1)
Agora simplificamos:
z - 1 = x + y - 22 Longrightarrow z = 1 + x+y-22 = x2 + y2

Resposta

O plano tangente é
z = 12,x + 12,y

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