Calcule o conjunto solução da seguinte inequação

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação racional
-x^2+x+6x+1<0
Esse tipo de problema exige encontrar primeiro as raízes do numerador e os pontos em que o denominador se anula (e passa a ser indefinido), depois analisar o sinal da função em cada intervalo determinado por esses pontos críticos.

Passo 2

Vamos fatorar o numerador e identificar o denominador:
-x^2+x+6 = -(x^2-x-6) = -(x-3)(x+2),
e o denominador é
x+1
As raízes do numerador são x=3 e x=-2. O denominador anula-se em x=-1, onde a função não está definida.

Passo 3

Os pontos críticos são -2, -1 e 3. Eles dividem a reta real em quatro intervalos:
(-infty,-2), (-2,-1), (-1,3), (3,infty)

Passo 4

Analisamos o sinal de cada fator em cada intervalo e combinamos:
  1. Para x< -2: numerador é negativo, denominador é negativo, quociente positivo.
  2. Para -2<x< -1: numerador é positivo, denominador é negativo, quociente negativo.
  3. Para -1<x<3: numerador é positivo, denominador é positivo, quociente positivo.
  4. Para x>3: numerador é negativo, denominador é positivo, quociente negativo.
Queremos onde o quociente é estritamente negativo, excluindo pontos em que numerador é zero ( x=-2,3) ou denominador é zero ( x=-1).

Passo 5

Concluímos que a inequação é satisfeita em
(-2,-1)cup(3,infty)

Resposta

(-2,-1)cup(3,infty)

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