Determine o plano tangente a superfície \mathbf{r}(\mathbf{u}, \mathbf{v}) no ponto \boldsymbol{P}_{\mathbf{0}}.
Superficie: x=\cos (u) \sin (v), y=\sin (u) \sin (v), z=\cos (v) sendo um cone no ponto (0,0,0).

Passo 1

O enunciado dá a superfície parametrizada e pede o plano tangente no ponto indicado. Informações explícitas fornecidas:
\text{Superfície: }\mathbf{r}(u,v)=\big(\cos(u)\sin(v),\;\sin(u)\sin(v),\;\cos(v)\big).í
\text{Ponto pedido: }P_0=(0,0,0).
Pergunta: determinar o plano tangente à superfície no ponto P_0.

Passo 2

Antes de tentar achar o plano tangente, precisamos verificar se o ponto P_0 realmente pertence à superfície (pois o plano tangente só existe no sentido clássico em pontos da superfície). Para isso procuramos u,v tais que
\cos(u)\sin(v)=0,\qquad \sin(u)\sin(v)=0,\qquad \cos(v)=0.
Da terceira equação temos
\cos(v)=0\implies v=\frac{\pi}{2}+k\pi\quad(k\in\mathbb{Z}).
Para esses valores de v temos \sin(v)=\pm 1. Então as duas primeiras equações ficam
\cos(u)\cdot(\pm1)=0,\qquad \sin(u)\cdot(\pm1)=0,
ou seja
\cos(u)=0\quad\text{e}\quad \sin(u)=0.
Mas não existe u que satisfaça simultaneamente \cos(u)=0 e \sin(u)=0. Portanto não há pares (u,v) que produzam P_0=(0,0,0).

Passo 3

Conclusão imediata: o ponto P_0=(0,0,0) NÃO pertence à superfície parametrizada (aliás, a parametrização dada é a da esfera unitária \,x^2+y^2+z^2=1, que nunca passa pela origem). Logo não faz sentido pedir “o plano tangente da superfície” em P_0 — não há plano tangente da superfície naquele ponto porque o ponto não está na superfície.

Passo 4

Mesmo assim, para ser útil na sua prova, vou mostrar passo a passo como se obtém o plano tangente em um ponto genérico da superfície parametrizada. Primeiro calculamos as derivadas parciais da parametrização (essas vetoriais geram o espaço tangente):
\mathbf{r}_u(u,v)=\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u}=\big(-\sin(u)\sin(v),\;\cos(u)\sin(v),\;0\big),
\mathbf{r}_v(u,v)=\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v}=\big(\cos(u)\cos(v),\;\sin(u)\cos(v),\;-\sin(v)\big).
Explicação didática rápida: \mathbf{r}_u é a velocidade quando variamos u mantendo v fixo (derrubando trigonometria termo a termo), e \mathbf{r}_v é a velocidade quando variamos v com u fixo.

Passo 5

O vetor normal à superfície em (u,v) pode ser obtido pelo produto vetorial
\mathbf{n}(u,v)=\mathbf{r}_u(u,v)\times\mathbf{r}_v(u,v).
Vamos calcular componente a componente (usando a regra do determinante):
\begin{aligned} n_x &= (\cos(u)\sin(v))\cdot(-\sin(v)) - 0\cdot(\sin(u)\cos(v)) = -\cos(u)\sin^2(v),\\[4pt] n_y &= 0\cdot(\cos(u)\cos(v)) - (-\sin(u)\sin(v))\cdot(-\sin(v)) = -\sin(u)\sin^2(v),\\[4pt] n_z &= (-\sin(u)\sin(v))\cdot(\sin(u)\cos(v)) - (\cos(u)\sin(v))\cdot(\cos(u)\cos(v))\\\ &= -\sin v\cos v\big(\sin^2 u+\cos^2 u\big)= -\sin v\cos v. \end{aligned}
Agrupando,
\mathbf{n}(u,v)=\big(-\cos(u)\sin^2(v),\; -\sin(u)\sin^2(v),\; -\sin(v)\cos(v)\big).
Note o ponto importante (intuição geométrica): usando \mathbf{r}(u,v)=(\cos u\sin v,\;\sin u\sin v,\;\cos v) vemos que
\mathbf{n}(u,v) = -\sin v\; \mathbf{r}(u,v).
Ou seja, o vetor normal é paralelo ao vetor posição \mathbf{r} (como esperado para uma esfera): a normal em cada ponto aponta radialmente.]

Passo 6

A equação do plano tangente em um ponto \mathbf{r}(u_0,v_0)=\mathbf{r}_0=(x_0,y_0,z_0) é dada por
\mathbf{n}(u_0,v_0)\cdot\big(\mathbf{X}-\mathbf{r}_0\big)=0,
onde \mathbf{X}=(x,y,z) é um ponto genérico do plano. Como \mathbf{n}(u_0,v_0) é paralelo a \mathbf{r}_0, podemos multiplicar por escalares e simplificar; usando \mathbf{n}(u_0,v_0)=-\sin v_0\,\mathbf{r}_0 obtemos (o fator escalar cai)
\mathbf{r}_0\cdot\big(\mathbf{X}-\mathbf{r}_0\big)=0.
Isto desenvolve-se para
x_0 x + y_0 y + z_0 z = x_0^2 + y_0^2 + z_0^2.
Se a superfície é a esfera unitária então x_0^2+y_0^2+z_0^2=1, portanto a forma final e muito prática do plano tangente em \mathbf{r}_0 é
\boxed{\,x_0 x + y_0 y + z_0 z = 1\,}.
Interpretação: o plano tangente à esfera unitária no ponto (x_0,y_0,z_0) é justamente o conjunto de pontos (x,y,z) cuja produto escalar com (x_0,y_0,z_0) vale 1.

Passo 7

Exemplos rápidos para fixar a ideia:
  • No polo norte (0,0,1) a equação dá 0\cdot x+0\cdot y+1\cdot z=1, isto é \,z=1.
  • No ponto (1,0,0) a equação dá x=1.

Resposta

O ponto (0,0,0) não pertence à superfície dada (a parametrização é da esfera unitária), portanto não existe plano tangente da superfície em (0,0,0).
\text{Plano tangente genérico na esfera: }x_0x+y_0y+z_0z=1,\text{ onde }(x_0,y_0,z_0)=\mathbf{r}(u_0,v_0).é

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