Determine o plano tangente a superfície
no ponto
.
Superficie:
sendo um cone no ponto
.
Superficie:
Passo 1
O enunciado dá a superfície parametrizada e pede o plano tangente no ponto indicado. Informações explícitas fornecidas:
Pergunta: determinar o plano tangente à superfície no ponto
.
Passo 2
Antes de tentar achar o plano tangente, precisamos verificar se o ponto
realmente pertence à superfície (pois o plano tangente só existe no sentido clássico em pontos da superfície). Para isso procuramos
tais que
Da terceira equação temos
Para esses valores de
temos
. Então as duas primeiras equações ficam
ou seja
Mas não existe
que satisfaça simultaneamente
e
. Portanto não há pares
que produzam
.
Passo 3
Conclusão imediata: o ponto
NÃO pertence à superfície parametrizada (aliás, a parametrização dada é a da esfera unitária
, que nunca passa pela origem). Logo não faz sentido pedir “o plano tangente da superfície” em
— não há plano tangente da superfície naquele ponto porque o ponto não está na superfície.
Passo 4
Mesmo assim, para ser útil na sua prova, vou mostrar passo a passo como se obtém o plano tangente em um ponto genérico da superfície parametrizada. Primeiro calculamos as derivadas parciais da parametrização (essas vetoriais geram o espaço tangente):
Explicação didática rápida:
é a velocidade quando variamos
mantendo
fixo (derrubando trigonometria termo a termo), e
é a velocidade quando variamos
com
fixo.
Passo 5
O vetor normal à superfície em
pode ser obtido pelo produto vetorial
Vamos calcular componente a componente (usando a regra do determinante):
Agrupando,
Note o ponto importante (intuição geométrica): usando
vemos que
Ou seja, o vetor normal é paralelo ao vetor posição
(como esperado para uma esfera): a normal em cada ponto aponta radialmente.]
Passo 6
A equação do plano tangente em um ponto
é dada por
onde
é um ponto genérico do plano. Como
é paralelo a
, podemos multiplicar por escalares e simplificar; usando
obtemos (o fator escalar cai)
Isto desenvolve-se para
Se a superfície é a esfera unitária então
, portanto a forma final e muito prática do plano tangente em
é
Interpretação: o plano tangente à esfera unitária no ponto
é justamente o conjunto de pontos
cuja produto escalar com
vale
.
Passo 7
Exemplos rápidos para fixar a ideia:
- No polo norte
a equação dá , isto é . - No ponto
a equação dá .
Resposta
O ponto
não pertence à superfície dada (a parametrização é da esfera unitária), portanto não existe plano tangente da superfície em
.