Determine o plano tangente a superfície no ponto dado.
(h)
,
(h)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para determinar o plano tangente à superfície definida pela equação
em um ponto específico. Para isso, vamos usar o conteúdo de cálculo diferencial, mais precisamente o conceito de derivadas parciais e plano tangente. Vamos precisar encontrar as derivadas parciais da função em relação a
e
no ponto dado.
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar a função implícita dada pela equação da superfície:
Queremos encontrar o plano tangente a essa superfície no ponto
.
Passo 3
O plano tangente a uma superfície
no ponto
é dado pela equação:
Aqui,
,
e
são as derivadas parciais de
em relação a
,
e
, respectivamente.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais da função
:
Essas derivadas nos dão as inclinações da superfície nas direções de
,
e
.
Passo 5
Com as derivadas parciais, podemos montar a equação do plano tangente. Substituindo
,
e
na equação:
Essa é a forma geral do plano tangente no ponto
.
Resposta
O plano tangente à superfície
no ponto
é dado por: