Determine o plano tangente a superfície no ponto dado.
(h) 3 x^2 - 4 x y + z^2 = 0,

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para determinar o plano tangente à superfície definida pela equação em um ponto específico. Para isso, vamos usar o conteúdo de cálculo diferencial, mais precisamente o conceito de derivadas parciais e plano tangente. Vamos precisar encontrar as derivadas parciais da função em relação a e no ponto dado.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar a função implícita dada pela equação da superfície:
Queremos encontrar o plano tangente a essa superfície no ponto .

Passo 3

O plano tangente a uma superfície no ponto é dado pela equação:
Aqui, , e são as derivadas parciais de em relação a , e , respectivamente.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais da função :
Essas derivadas nos dão as inclinações da superfície nas direções de , e .

Passo 5

Com as derivadas parciais, podemos montar a equação do plano tangente. Substituindo , e na equação:
Essa é a forma geral do plano tangente no ponto .

Resposta

O plano tangente à superfície no ponto é dado por:

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