Seja F(u, v) uma função de duas variáveis. Calcule f'(x) se
(d) f(x) = F(5 x, x^2)

Passo 1

Vamos entender o que está sendo pedido. Temos uma função de duas variáveis, , e queremos calcular a derivada de uma função composta, . Isso envolve o uso da regra da cadeia para funções de múltiplas variáveis, que nos permite derivar funções compostas de forma organizada.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções internas que compõem . Temos:
Essas são as funções que serão inseridas na função .

Passo 3

Para encontrar a derivada de em relação a , usamos a regra da cadeia para funções de duas variáveis. A regra da cadeia nos diz que:
Aqui, e são as derivadas parciais de em relação a e , respectivamente.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas das funções internas e :

Passo 5

Agora, substituímos essas derivadas na expressão da regra da cadeia:

Passo 6

Finalmente, substituímos e na expressão:

Resposta

Portanto, a derivada é:

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