Avalie a integral.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Esse é um problema de cálculo envolvendo integrais de funções logarítmicas. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de integração, como a integração por partes.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a técnica de integração por partes, que é útil quando temos o produto de duas funções. A fórmula da integração por partes é:
Aqui, vamos escolher:
Então, precisamos encontrar
e
:
Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
Passo 3
Vamos simplificar a integral que sobrará:
Podemos reescrever a fração:
Então, a integral fica:
A primeira parte é fácil de integrar:
Já a segunda parte,
, não tem uma solução em termos de funções elementares para valores gerais de
. Isso significa que precisaríamos usar funções especiais ou deixar a integral indefinida.
Resposta
Portanto, a integral é:
Onde
é a constante de integração.