Avalie a integral. integral ln (x^z-1) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse é um problema de cálculo envolvendo integrais de funções logarítmicas. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de integração, como a integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a técnica de integração por partes, que é útil quando temos o produto de duas funções. A fórmula da integração por partes é:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
Aqui, vamos escolher:
u = ln(x^z - 1) e dv = dx
Então, precisamos encontrar du = ddxln(x^z - 1) , dx = z x^z-1x^z - 1 , dx e v = integral dv = integral dx = x :
integral ln(x^z - 1) , dx = u cdot v - integral v , du
= x cdot ln(x^z - 1) - integral x cdot z x^z-1x^z - 1 , dx
Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:

Passo 3

Vamos simplificar a integral que sobrará:
- z integral x^zx^z - 1 , dx
Podemos reescrever a fração:
x^zx^z - 1 = 1 + 1x^z - 1
Então, a integral fica:
- z integral (1 + 1x^z - 1) , dx = - z integral 1 , dx - z integral 1x^z - 1 , dx
A primeira parte é fácil de integrar:
- z integral 1 , dx = - z x
Já a segunda parte, , não tem uma solução em termos de funções elementares para valores gerais de . Isso significa que precisaríamos usar funções especiais ou deixar a integral indefinida.

Resposta

Portanto, a integral é:
integral ln(x^z - 1) , dx = x cdot ln(x^z - 1) - z x - z integral 1x^z - 1 , dx + C
Onde é a constante de integração.

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