Determine o plano tangente à superfície z=x^3-y^3 no ponto (1,1,0).

Passo 1

Estamos com a superfície z = x^3 - y^3 e o ponto (1,1,0). O conteúdo é plano tangente a uma superfície definida por z = f(x,y), e para resolver precisamos calcular as derivadas parciais de f(x,y)=x^3 - y^3 e avaliá-las em (1,1).

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais: fx(x,y)=3x^2 e fy(x,y)=-3y^2. Avaliando em (1,1) obtemos fx(1,1)=3 e fy(1,1)=-3.

Passo 3

Para escrever o plano tangente usamos a fórmula
z = f(a,b) + fx(a,b)(x-a) + fy(a,b)(y-b)
com a=1 e b=1. Como f(1,1)=1^3-1^3=0, substituímos e temos
z = 0 + 3(x-1) - 3(y-1)
Expandindo e simplificando, chegamos a
z = 3x - 3y

Resposta

z = 3x - 3y

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