Determine o plano tangente à superfície z=ln (x y) no ponto (1,1,0).

Passo 1

O enunciado pede o plano tangente à superfície definida por z=ln(xy) no ponto (1,1,0). O conteúdo principal aqui é derivadas parciais e a fórmula do plano tangente a uma superfície z=f(x,y). Vamos precisar calcular as derivadas parciais de f(x,y)=ln(xy) e usar a expressão do plano tangente.

Passo 2

Para encontrar as derivadas parciais, lembramos que f(x,y)=ln(xy)=ln x + ln y. Então
fx(x,y)=partialpartial xln(xy)=1x, fy(x,y)=partialpartial yln(xy)=1y

Passo 3

Agora avaliamos essas derivadas no ponto (x0,y0)=(1,1):
fx(1,1)=11=1, fy(1,1)=11=1

Passo 4

A fórmula geral do plano tangente a z=f(x,y) no ponto (x0,y0,z0) é
z - z0 = fx(x0,y0),(x - x0) + fy(x0,y0),(y - y0)

Passo 5

Substituindo x0=1, y0=1, z0=0, fx(1,1)=1 e fy(1,1)=1, obtemos
z - 0 = 1,(x - 1) + 1,(y - 1)Longrightarrow z = x + y - 2

Resposta

z = x + y - 2

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