Determine se os planos são paralelos ou transversais (perpendiculares ou não): x+4 u-3 z=1 e -3 x+6 y+7 z=0.

Passo 1

O enunciado pede para decidir se os planos
P1: x + 4y - 3z = 1
e
P2: -3x + 6y + 7z = 0
são paralelos ou transversais, e em caso de transversais, se são perpendiculares.
Conteúdo: identificação do vetor normal de um plano e verificação de paralelismo (proporcionalidade de normais) e perpendicularidade (produto escalar nulo).

Passo 2

Extraímos os vetores normais de cada plano a partir dos coeficientes de x,y,z:
n1 = (1,,4,,-3), n2 = (-3,,6,,7)

Passo 3

Verificamos se são paralelos calculando a proporção entre componentes de n1 e n2. Se existisse k tal que
(1,4,-3) = k,(-3,6,7),
teríamos simultaneamente
1 = -3k,; 4 = 6k,; -3 = 7k
Mas -3k=1 k=-tfrac13, enquanto 6k=4 k=tfrac23; como esses k são diferentes, os vetores não são proporcionais. Logo, os planos não são paralelos e, portanto, são transversais.

Passo 4

Para ver se são perpendiculares, calculamos o produto escalar:
n1 cdot n2 = 1cdot(-3) + 4cdot6 + (-3)cdot7 = -3 +24 -21 = 0
Como o produto escalar é zero, os vetores normais são perpendiculares, o que implica que os planos também são perpendiculares.

Resposta

Os planos são transversais e perpendiculares.

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