Encontre, com precisão de duas casas decimais, as coordenadas do ponto na curva y=sen x que está mais próximo do ponto (4,2).

Passo 1

O enunciado pede o ponto (x,sin x) na curva y=sin x que fica mais próximo de (4,2).
Conteúdo: otimização de função de uma variável por derivada. Vamos minimizar o quadrado da distância entre (x,sin x) e (4,2).

Passo 2

Definimos a função distância ao quadrado
D^2(x) = (x-4)^2 + (sin x - 2)^2,
para não lidar com a raiz. O mínimo de D(x) ocorre quando D^2(x) atinge mínimo.

Passo 3

Calculamos a condição de ótimo derivando D^2(x) e igualando a zero:
ddxD^2(x) = 2(x-4) + 2(sin x - 2)cos x = 0
Logo, o ponto crítico satisfaz
(x-4) + (sin x - 2)cos x = 0

Passo 4

Chamemos
f(x) = x - 4 + (sin x - 2)cos x
Para resolver f(x)=0 numericamente usamos o método de Newton. Primeiro precisamos de
f'(x) = 1 + cos^2 x - sin^2 x + 2sin x = 1 + cos(2x) + 2sin x
Escolhendo chute inicial x0=2.65, cálculos aproximados dão
f(2.65)approx -0.0036, f'(2.65)approx 2.50,
então
x1 = 2.65 - -0.00362.50approx 2.6514

Passo 5

Com xapprox2.6514 calculamos
y = sin(2.6514)approx 0.4710
Esse ponto é o candidato ao mínimo. Confirmamos que não há outro ponto com distância menor.

Resposta

As coordenadas do ponto mais próximo são aproximadamente
l(2.65,;0.47r)

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