Encontre, com precisão de duas casas decimais, as coordenadas do ponto na curva
que está mais próximo do ponto
.
Passo 1
O enunciado pede o ponto
na curva
que fica mais próximo de
.
Conteúdo: otimização de função de uma variável por derivada. Vamos minimizar o quadrado da distância entre e
.
Conteúdo: otimização de função de uma variável por derivada. Vamos minimizar o quadrado da distância entre
Passo 2
Definimos a função distância ao quadrado
para não lidar com a raiz. O mínimo de
ocorre quando
atinge mínimo.
Passo 3
Calculamos a condição de ótimo derivando
e igualando a zero:
Logo, o ponto crítico satisfaz
Passo 4
Chamemos
Para resolver
numericamente usamos o método de Newton. Primeiro precisamos de
Escolhendo chute inicial
, cálculos aproximados dão
então
Passo 5
Com
calculamos
Esse ponto é o candidato ao mínimo. Confirmamos que não há outro ponto com distância menor.
Resposta
As coordenadas do ponto mais próximo são aproximadamente