Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências
sumn=1^infty (-1)^n x^nn+1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências
sumn=1^infty (-1)^n x^nn+1
Isso faz parte do conteúdo de séries de potências, onde usamos testes como o Teste da Razão para descobrir até onde a série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos usar o Teste da Razão para encontrar o raio de convergência. Esse teste nos ajuda a determinar para quais valores de x a série vai convergir.

Passo 3

Vamos considerar o termo geral da série:
an = (-1)^n x^nn+1
Para aplicar o Teste da Razão, precisamos calcular o limite:
L = limn to infty | an+1an |

Passo 4

Substituindo an+1 e an na expressão:
| an+1an | = | (-1)^n+1 x^n+1(n+2) cdot n+1(-1)^n x^n | = | -x cdot n+1n+2 | = |x| cdot n+1n+2

Passo 5

Agora, calculamos o limite quando n vai para infinito:
L = limn to infty |x| cdot n+1n+2 = |x| cdot limn to infty n+1n+2 = |x| cdot 1 = |x|
Segundo o Teste da Razão, a série converge se L < 1 .

Passo 6

Então, temos que:
|x| < 1
Isso significa que o raio de convergência R é 1.

Passo 7

Agora, vamos determinar o intervalo de convergência. Sabemos que a série converge para |x| < 1 , ou seja, para -1 < x < 1 . Mas precisamos verificar se a série também converge quando x = -1 e x = 1 .

Passo 8

Quando x = 1 :
A série fica:
sumn=1^infty (-1)^n cdot 1^nn+1 = sumn=1^infty (-1)^nn+1
Essa é uma série alternada cujo termo geral tende a zero e os termos diminuem em módulo, então ela converge pelo Teste da Série Alternada.
Quando x = -1 :
A série fica:
sumn=1^infty (-1)^n cdot (-1)^nn+1 = sumn=1^infty 1n+1
Essa é uma série harmônica que diverge.

Resposta

O raio de convergência é R = 1 e o intervalo de convergência é -1 < x <= 1 .

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