Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências
Isso faz parte do conteúdo de séries de potências, onde usamos testes como o Teste da Razão para descobrir até onde a série converge.
Passo 2
Primeiro, vamos usar o Teste da Razão para encontrar o raio de convergência. Esse teste nos ajuda a determinar para quais valores de a série vai convergir.
Passo 3
Vamos considerar o termo geral da série:
Para aplicar o Teste da Razão, precisamos calcular o limite:
Agora, calculamos o limite quando n vai para infinito:
L = limn to infty |x| cdot n+1n+2 = |x| cdot limn to infty n+1n+2 = |x| cdot 1 = |x|
Segundo o Teste da Razão, a série converge se L < 1 .
Passo 6
Então, temos que:
|x| < 1
Isso significa que o raio de convergência R é 1.
Passo 7
Agora, vamos determinar o intervalo de convergência. Sabemos que a série converge para |x| < 1 , ou seja, para -1 < x < 1 . Mas precisamos verificar se a série também converge quando x = -1 e x = 1 .