Sabendo que raiz[n]|an|=n^23 n^4+n+1,o que se pode afirmar sobre a série sum an ? A série converge, diverge ou não podemos afirmar nada? Justifique sua resposta.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem uma série sum an e foi dado que raiz[n]|an| = n^23 n^4 + n + 1. Nosso objetivo é descobrir se essa série converge, diverge ou se não dá para afirmar nada sobre ela. Para isso, vamos usar o Teste da Raiz, que ajuda a determinar a convergência de séries.

Passo 2

O Teste da Raiz funciona assim: a gente calcula o limite L de raiz[n]|an| quando n tende ao infinito. Dependendo do valor de L, a série pode convergir ou divergir.
  • Se L < 1, a série converge absolutamente.
  • Se L > 1, a série diverge.
  • Se L = 1, o teste não conclui nada, ou seja, não dá pra saber se a série converge ou diverge apenas com esse teste.

Passo 3

Vamos calcular esse limite:
L = limn to infty raiz[n]|an| = limn to infty n^23 n^4 + n + 1
Primeiro, simplificamos a fração. Para valores grandes de n, os termos de maior grau dominam. Então:
n^23 n^4 + n + 1 approx n^23 n^4 = 13 n^2
Agora, calculamos o limite desse termo simplificado:
limn to infty 13 n^2 = 0
Então, L = 0.

Passo 4

Como L = 0 e 0 < 1, de acordo com o Teste da Raiz, a série converge absolutamente.

Resposta

A série sum an converge absolutamente.

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