Sabendo que
,o que se pode afirmar sobre a série
? A série converge, diverge ou não podemos afirmar nada? Justifique sua resposta.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem uma série
e foi dado que
. Nosso objetivo é descobrir se essa série converge, diverge ou se não dá para afirmar nada sobre ela. Para isso, vamos usar o Teste da Raiz, que ajuda a determinar a convergência de séries.
Passo 2
O Teste da Raiz funciona assim: a gente calcula o limite
de
quando
tende ao infinito. Dependendo do valor de
, a série pode convergir ou divergir.
- Se
, a série converge absolutamente. - Se
, a série diverge. - Se
, o teste não conclui nada, ou seja, não dá pra saber se a série converge ou diverge apenas com esse teste.
Passo 3
Vamos calcular esse limite:
Primeiro, simplificamos a fração. Para valores grandes de
, os termos de maior grau dominam. Então:
Agora, calculamos o limite desse termo simplificado:
Então,
.
Passo 4
Como
e
, de acordo com o Teste da Raiz, a série converge absolutamente.
Resposta
A série
converge absolutamente.