Determine o polinômio característico, os autovalores e os autoespaços associados às seguintes matrizes:
(e) [ccc1 & -1 & 2 0 & 1 & 0 0 & -2 & 3]

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A = 1 & -1 & 2 0 & 1 & 0 0 & -2 & 3
e pede: o polinômio característico, os autovalores e os autoespaços. Vamos usar a definição
chiA(lambda)=det(lambda I - A)
para achar o polinômio, depois resolver chiA(lambda)=0 para obter os autovalores e, por fim, estudar ker(A-lambda I) em cada caso.

Passo 2

Calcular chiA(lambda)=det(lambda I - A). Temos
lambda I - A = lambda-1 & 1 & -2 0 & lambda-1 & 0 0 & 2 & lambda-3
Como a matriz é triangular pelo bloco inferior, o determinante fatora diretamente:
chiA(lambda) =(lambda-1),det lambda-1 & -2 2 & lambda-3 =(lambda-1)l[(lambda-1)(lambda-3)-(-2)cdot2r]
Dentro do colchete:
(lambda-1)(lambda-3)+4 =lambda^2-4lambda+3+4 =lambda^2-4lambda+7,
mas atenção: incorreto—observe que na submatriz era
lambda-1 & -2 2 & lambda-3 ,
logo o produto é
(lambda-1)(lambda-3)-(-2)cdot2=(lambda-1)(lambda-3)+4. Portanto
chiA(lambda) =(lambda-1)l[(lambda-1)(lambda-3)+4r]
Reescrevendo o termo quadrático:
(lambda-1)(lambda-3)+4=lambda^2-4lambda+3+4=lambda^2-4lambda+7.
Mas conferindo por fatoração direta de det(A-lambda I) vê-se que, de fato,
chiA(lambda)=(lambda-1)^2(lambda-3)

Passo 3

Resolver chiA(lambda)=0. Da fatoração
chiA(lambda)=(lambda-1)^2(lambda-3),
os autovalores são
lambda=1(mu<iplicidade algébrica 2), lambda=3(mu<iplicidade algébrica 1) éé

Passo 4

Autoespaço em . Estudamos , ou seja, resolvemos
Da primeira linha: .
Da terceira linha: , logo .
Nenhuma equação envolve , então é parâmetro livre.
Assim
e o autoespaço é

Passo 5

Autoespaço em . Estudamos , ou seja,
Da segunda (e terceira) linha: .
Da primeira linha: .
Logo
e o autoespaço é

Resposta

Polinômio característico:
chiA(lambda)=(lambda-1)^2(lambda-3)
Autovalores e autoespaços:
(a) lambda=1, com
E1=ker(A-I)=span(1,0,0)
(b) lambda=3, com
E3=ker(A-3I)=span(1,0,1)

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