Determine o polinômio característico, os autovalores e os autoespaços associados às seguintes matrizes:
(e)
(e)
Passo 1
O enunciado nos dá a matriz
e pede: o polinômio característico, os autovalores e os autoespaços. Vamos usar a definição
para achar o polinômio, depois resolver
chiA(lambda)=0 para obter os autovalores e, por fim, estudar
ker(A-lambda I) em cada caso.
Passo 2
Calcular
chiA(lambda)=det(lambda I - A) . Temos
Como a matriz é triangular pelo bloco inferior, o determinante fatora diretamente:
Dentro do colchete:
mas atenção: incorreto—observe que na submatriz era
logo o produto é
(lambda-1)(lambda-3)-(-2)cdot2=(lambda-1)(lambda-3)+4 . Portanto
Reescrevendo o termo quadrático:
(lambda-1)(lambda-3)+4=lambda^2-4lambda+3+4=lambda^2-4lambda+7 .
Mas conferindo por fatoração direta dedet(A-lambda I) vê-se que, de fato,
Mas conferindo por fatoração direta de
Passo 3
Resolver
chiA(lambda)=0 . Da fatoração
os autovalores são
Passo 4
Autoespaço em
. Estudamos
, ou seja, resolvemos
Da primeira linha:
.
Da terceira linha: , logo
.
Nenhuma equação envolve , então
é parâmetro livre.
Assim
Da terceira linha:
Nenhuma equação envolve
Assim
e o autoespaço é
Passo 5
Autoespaço em
. Estudamos
, ou seja,
Da segunda (e terceira) linha:
.
Da primeira linha: .
Logo
Da primeira linha:
Logo
e o autoespaço é
Resposta
Polinômio característico:
Autovalores e autoespaços:
(a)lambda=1 , com
(a)
(b)
lambda=3 , com