Determine quais das seguintes funçōes são aplicaçôes lineares:
c) l h: M2 R [ll a & b c & d ] longmapsto det[ll a & b c & d ]

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função
definida por
é uma aplicação linear. Para isso, vamos usar a definição: é linear se, para todas as matrizes e todo escalar , valem
  1. (aditividade)
  2. (homogeneidade)

Passo 2

Vamos testar a aditividade com o contra-exemplo
A=1&00&0, B=0&00&1
Calculamos
det(A)=1cdot0-0cdot0=0, det(B)=0cdot1-0cdot0=0,
enquanto
A+B=1&00&1 Longrightarrow det(A+B)=1cdot1-0cdot0=1
Logo
h(A+B)=1neq 0+0=h(A)+h(B),
ou seja, a aditividade falha.

Passo 3

Como já não se verifica h(A+B)=h(A)+h(B) em geral, concluímos que h não satisfaz a definição de aplicação linear.

Resposta

h não é aplicação linear.

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