Determine o polinômio característico, os autovalores e os autoespaços associados às seguintes matrizes:
(c) [ll2 & 3 2 & 1]

Passo 1

Resumindo, temos a matriz
A = 2 & 3 2 & 1
e queremos achar o polinômio característico, os autovalores e, para cada autovalor lambda, o autoespaço ker(A - lambda I). O conteúdo envolve determinante de A - lambda I, fatoração de polinômio quadrático e resolução de sistemas lineares para achar vetores próprios.

Passo 2

Calculamos o polinômio característico
chiA(lambda) = det(A - lambda I) = det2-lambda & 3 [6pt]2 & 1-lambda = (2-lambda)(1-lambda) - 2cdot3
Expandindo,
chiA(lambda) = (2-lambda)(1-lambda) - 6 = 2 -3lambda + lambda^2 -6 = lambda^2 -3lambda -4 ]

Passo 3

Para encontrar os autovalores, resolvemos
lambda^2 -3lambda -4 = 0
Fatorando,
lambda^2 -3lambda -4 = (lambda-4)(lambda+1),
logo os autovalores são
lambda1 = 4 e lambda2 = -1.

Passo 4

Autovetores para . Resolvemos , isto é
Da primeira linha segue . Tomando , obtemos o vetor próprio
.
Portanto o autoespaço associado a é
]

Passo 5

Autovetores para . Resolvemos , isto é
Da primeira linha segue . Escolhendo , obtemos
.
Assim o autoespaço para é
]

Resposta

O polinômio característico é
Os autovalores são e .
Os autoespaços são

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