Determine o polinômio característico, os autovalores e os autoespaços associados às seguintes matrizes: \left[\begin{array}{ll}1 & 3 \\\\ 3 & 2\end{array}\right]
Passo 1
O enunciado dá a matriz
A=\begin{pmatrix}1 & 3\\[4pt]3 & 2\end{pmatrix}
e pede três coisas: (1) o polinômio característico de A; (2) os autovalores (raízes desse polinômio); (3) os autoespaços (espaços próprios) associados a cada autovalor. Essas são as informações que vamos usar.]
Passo 2
Primeiro vamos lembrar como se obtém o polinômio característico: é o determinante de A-\lambda I, ou seja
p(\lambda)=\det\big(A-\lambda I\big).
Para uma matriz 2\times2 a fórmula do determinante é simples: se M=\begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix} então \det(M)=ad-bc. Vamos aplicar isso em A-\lambda I.
Logo o polinômio característico é \displaystyle p(\lambda)=\lambda^2-3\lambda-7.
Passo 5
Para encontrar os autovalores resolvemos p(\lambda)=0, ou seja a equação quadrática
\lambda^2-3\lambda-7=0.
Usamos a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática). Lembre que para a\lambda^2+b\lambda+c=0 as raízes são \lambda=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}. Aqui a=1, b=-3 (ou usar b= -3 conforme a forma), c=-7.
Agora vamos achar os autoespaços. Para um autovalor \lambda os vetores próprios são as soluções não triviais de
(A-\lambda I)v=0.
Escrevemos o sistema a partir de A-\lambda I=\begin{pmatrix}1-\lambda & 3\\[4pt]3 & 2-\lambda\end{pmatrix}. Seja v=\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\end{pmatrix}. As equações são
(1-\lambda)x+3y=0,\qquad 3x+(2-\lambda)y=0.
As duas equações são múltiplas (porque \lambda é raiz do polinômio característico), então basta usar a primeira para parametrizar os vetores.]
Breve comentário interpretativo (só para te animar): A é simétrica, então autovalores são reais (como vimos) e autoespaços associados a autovalores distintos são ortogonais. Se calcularmos o produto escalar entre v_1' e v_2' obtemos