Determine o polinômio característico, os autovalores e os autoespaços associados às seguintes matrizes:
\left[\begin{array}{ll}1 & 3 \\\\ 3 & 2\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A=\begin{pmatrix}1 & 3\\[4pt]3 & 2\end{pmatrix}
e pede três coisas: (1) o polinômio característico de A; (2) os autovalores (raízes desse polinômio); (3) os autoespaços (espaços próprios) associados a cada autovalor. Essas são as informações que vamos usar.]

Passo 2

Primeiro vamos lembrar como se obtém o polinômio característico: é o determinante de A-\lambda I, ou seja
p(\lambda)=\det\big(A-\lambda I\big).
Para uma matriz 2\times2 a fórmula do determinante é simples: se M=\begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix} então \det(M)=ad-bc. Vamos aplicar isso em A-\lambda I.

Passo 3

Escrevendo A-\lambda I temos
A-\lambda I=\begin{pmatrix}1-\lambda & 3\\[4pt]3 & 2-\lambda\end{pmatrix}.
Aplicando a fórmula do determinante:
p(\lambda)= (1-\lambda)(2-\lambda)-3\cdot 3.
Agora expandimos cuidadosamente passo a passo.]

Passo 4

Expandindo (1-\lambda)(2-\lambda):
(1-\lambda)(2-\lambda)=2-1\lambda-2\lambda+\lambda^2=2-3\lambda+\lambda^2.
Subtraindo 3\cdot 3=9 obtemos
p(\lambda)=\lambda^2-3\lambda+2-9=\lambda^2-3\lambda-7.
Logo o polinômio característico é \displaystyle p(\lambda)=\lambda^2-3\lambda-7.

Passo 5

Para encontrar os autovalores resolvemos p(\lambda)=0, ou seja a equação quadrática
\lambda^2-3\lambda-7=0.
Usamos a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática). Lembre que para a\lambda^2+b\lambda+c=0 as raízes são \lambda=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}. Aqui a=1, b=-3 (ou usar b= -3 conforme a forma), c=-7.

Passo 6

Calculando o discriminante:
\Delta=b^2-4ac = (-3)^2-4\cdot 1\cdot(-7)=9+28=37.
Portanto as raízes são
\lambda=\frac{3\pm\sqrt{37}}{2}.
Escrevemos os dois autovalores explicitamente:
\lambda_1=\frac{3+\sqrt{37}}{2},\qquad \lambda_2=\frac{3-\sqrt{37}}{2}.

Passo 7

Agora vamos achar os autoespaços. Para um autovalor \lambda os vetores próprios são as soluções não triviais de
(A-\lambda I)v=0.
Escrevemos o sistema a partir de A-\lambda I=\begin{pmatrix}1-\lambda & 3\\[4pt]3 & 2-\lambda\end{pmatrix}. Seja v=\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\end{pmatrix}. As equações são
(1-\lambda)x+3y=0,\qquad 3x+(2-\lambda)y=0.
As duas equações são múltiplas (porque \lambda é raiz do polinômio característico), então basta usar a primeira para parametrizar os vetores.]

Passo 8

Da primeira equação temos
(1-\lambda)x+3y=0 \quad\Rightarrow\quad ( \lambda-1)x=3y \quad\Rightarrow\quad x=\frac{3}{\lambda-1}\,y.
Para obter um vetor mais simples, escolhemos y=\lambda-1. Assim
x=3.
Portanto um vetor próprio associado a \lambda é
v=\begin{pmatrix}3\\[4pt]\lambda-1\end{pmatrix}.
Este raciocínio vale para cada autovalor (substituímos \lambda por \lambda_1 ou \lambda_2).]

Passo 9

Aplicando ao autovalor \lambda_1=\dfrac{3+\sqrt{37}}{2} obtemos um vetor próprio
v_1=\begin{pmatrix}3\\[6pt]\lambda_1-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\[4pt]\dfrac{3+\sqrt{37}}{2}-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\[6pt]\dfrac{1+\sqrt{37}}{2}\end{pmatrix}.
Multiplicando por 2 para eliminar fração (isto não muda o autoespaço), uma base mais limpa para o autoespaço é
v_1'=\begin{pmatrix}6\\[4pt]1+\sqrt{37}\end{pmatrix}.
Logo o autoespaço associado a \lambda_1 é
E_{\lambda_1}=\operatorname{span}\!\left\{\begin{pmatrix}6\\[4pt]1+\sqrt{37}\end{pmatrix}\right\}.]

Passo 10

Analogamente, para \lambda_2=\dfrac{3-\sqrt{37}}{2} temos
v_2=\begin{pmatrix}3\\[6pt]\lambda_2-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\[4pt]\dfrac{1-\sqrt{37}}{2}\end{pmatrix},
e multiplicando por 2 obtemos a base
v_2'=\begin{pmatrix}6\\[4pt]1-\sqrt{37}\end{pmatrix}.
Portanto o autoespaço associado a \lambda_2 é
E_{\lambda_2}=\operatorname{span}\!\left\{\begin{pmatrix}6\\[4pt]1-\sqrt{37}\end{pmatrix}\right\}.]

Passo 11

Breve comentário interpretativo (só para te animar): A é simétrica, então autovalores são reais (como vimos) e autoespaços associados a autovalores distintos são ortogonais. Se calcularmos o produto escalar entre v_1' e v_2' obtemos
6\cdot 6 + (1+\sqrt{37})(1-\sqrt{37}) =36 + (1-37)=0,
confirmando a ortogonalidade — sinal de que está tudo coerente.

Resposta

Polinômio característico: \lambda^{2}-3\lambda-7.
Autovalores: \displaystyle \lambda_{1}=\frac{3+\sqrt{37}}{2},\quad \lambda_{2}=\frac{3-\sqrt{37}}{2}.
Autoespaços:
\displaystyle E_{\lambda_{1}}=\operatorname{span}\!\left\{\begin{pmatrix}6\\[4pt]1+\sqrt{37}\end{pmatrix}\right\},\quad E_{\lambda_{2}}=\operatorname{span}\!\left\{\begin{pmatrix}6\\[4pt]1-\sqrt{37}\end{pmatrix}\right\}.]

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