Determine o polinômio característico, os autovalores e os autovetores das seguintes matrizes:
(ll1 & 1 1 & 1)

Passo 1

O enunciado pede o polinômio característico, os autovalores e os autovetores da matriz
A = 1 & 1 [6pt] 1 & 1
Para isso usamos a definição de autovalor: um número lambda é autovalor se existir vetor não‐nulo v tal que
(A - lambda I),v = 0,
o que exige det(A - lambda I)=0.]

Passo 2

Vamos montar A - lambda I e calcular seu determinante:
A - lambda I = 1-lambda & 1 [4pt] 1 & 1-lambda,
det(A - lambda I) = (1-lambda)^2 - 1 = (1-lambda)^2 - 1
Em seguida simplificamos:
(1-lambda)^2 - 1 = 1 - 2lambda + lambda^2 - 1 = lambda^2 - 2lambda ]

Passo 3

O polinômio característico é
p(lambda) = lambda^2 - 2lambda = lambda(lambda - 2)
Para encontrar os autovalores basta resolver
lambda(lambda - 2) = 0
que dá
lambda1 = 0, lambda2 = 2

Passo 4

Para lambda2 = 2 resolvemos
(A - 2I)v = 0 ;Longrightarrow; -1 & 1 [4pt] 1 & -1 x [3pt] y = 0 ;Longrightarrow; -x + y = 0
Logo y = x e o espaço próprio associado é gerado por
v2 = 1 [3pt] 1 ]

Passo 5

Para lambda1 = 0 resolvemos
A,v = 0 ;Longrightarrow; 1 & 1 [4pt] 1 & 1 x [3pt] y = 0 ;Longrightarrow; x + y = 0
Logo y = -x e o espaço próprio associado é gerado por
v1 = 1 [3pt] -1 ]

Resposta

O polinômio característico é
p(lambda) = lambda(lambda - 2)
Os autovalores são lambda1 = 0 e lambda2 = 2.
Um autovetor associado a lambda1=0 é
v1 = 1 -1,
e um autovetor associado a lambda2=2 é
v2 = 1 1.

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