V=x in R: x >= 0 com operações x oplus y=x y e r odot x=x^r.

Passo 1

O enunciado define
V = xinR : x>=0
com “adição”
xoplus y = x,y
e “multiplicação escalar”
rodot x = x^r,
Queremos ver se (V,oplus,odot) é um espaço vetorial sobre R. Para isso precisamos verificar primeiro se (V,oplus) é um grupo abeliano, depois as propriedades de odot.

Passo 2

Verificação de (V,oplus) ser grupo abeliano:
  1. Fechamento: se x,y>=0 então xoplus y=xy>=0, logo xyin V.
  2. Comutatividade: xoplus y=xy=yx=yoplus x.
  3. Associatividade:
(xoplus y)oplus z = (xy),z = x,(yz) = xoplus(yoplus z)
  1. Elemento neutro e deve satisfazer xoplus e = x. Então x,e = x para todo x>=0. Para x>0 isso dá e=1. Verificando em x=0: 0oplus1=0cdot1=0, também funciona. Logo o neutro é e=1in V.

Passo 3

Verificação da existência de inverso para todo xin V:
– Para x>0, o inverso y satisfaz xoplus y=1iff x,y=1, ou seja, y=1/xin V.
– Para x=0, não existe y>=0 tal que 0cdot y=1.
Portanto não há inverso de 0 em (V,oplus).

Passo 4

Mesmo sem continuar nas propriedades de odot, já vimos que falta o inverso aditivo para x=0. Assim (V,oplus) não é grupo e logo não pode ser espaço vetorial.

Resposta

;(V,oplus,odot) não é espaço vetorial, pois não existe inverso aditivo de 0 (não há yin V com 0oplus y=1).

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