do -espaço vetorial .
(a) Encontre as coordenadas do vetor em relação à base canônica de .
(b) Encontre as coordenadas do vetor em relação à base .
Passo 1
O enunciado dá a base
de .
(a) Temos um vetor cujas coordenadas em são
Queremos encontrar , ou seja, as coordenadas de na base canônica.
(b) Dado em coordenadas canônicas, queremos achar .
Para (a) usamos a combinação linear de com coeficientes dados por . Para (b) montamos um sistema para os coeficientes em .
Passo 2
Para (a), escrevemos
Cada está em coordenadas canônicas, então basta multiplicar e somar componente a componente.
Passo 3
Calculando componente a componente:
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Passo 4
Para (b), buscamos escalares tais que
Isso gera o sistema
Passo 5
A equação beta=-1 vem direto da terceira componente. Substituindo em alpha+beta+3de<a=9 obtemos alpha+3de<a=10, ou alpha=10-3de<a.
Na segunda equação alpha+2gamma=5 fica