Questão 1 Considere a base
/ 3 p.
B=(1,1,0,1),(1,0,1,1),(0,2,0,1),(3,0,0,2)
do R-espaço vetorial R^4.
(a) Encontre as coordenadas do vetor u=(4,-3,5,6)B em relação à base canônica de R^4.
(b) Encontre as coordenadas do vetor v=(9,5,-1,8) em relação à base B.

Passo 1

O enunciado dá a base
B=b1=(1,1,0,1),,b2=(1,0,1,1),,b3=(0,2,0,1),,b4=(3,0,0,2)
de R^4.
(a) Temos um vetor u cujas coordenadas em B são
[u]B=(4,-3,5,6)
Queremos encontrar [u]can, ou seja, as coordenadas de u na base canônica.
(b) Dado v=(9,5,-1,8) em coordenadas canônicas, queremos achar [v]B.
Para (a) usamos a combinação linear de bi com coeficientes dados por [u]B. Para (b) montamos um sistema para os coeficientes em B.

Passo 2

Para (a), escrevemos
u = 4,b1 ;-;3,b2;+;5,b3;+;6,b4
Cada bi está em coordenadas canônicas, então basta multiplicar e somar componente a componente.

Passo 3

Calculando componente a componente:
x1&=4cdot1+(-3)cdot1+5cdot0+6cdot3=4-3+0+18=19, x2&=4cdot1+(-3)cdot0+5cdot2+6cdot0=4+0+10+0=14, x3&=4cdot0+(-3)cdot1+5cdot0+6cdot0=0-3+0+0=-3, x4&=4cdot1+(-3)cdot1+5cdot1+6cdot2=4-3+5+12=18
Logo
[u]can=(19,14,-3,18)

Passo 4

Para (b), buscamos escalares alpha,beta,gamma,de<a tais que
alpha,b1+beta,b2+gamma,b3+de<a,b4=(9,5,-1,8)
Isso gera o sistema
alpha+beta+3de<a=9, alpha+2gamma=5, beta=-1, alpha+beta+gamma+2de<a=8

Passo 5

A equação beta=-1 vem direto da terceira componente. Substituindo em
alpha+beta+3de<a=9 obtemos alpha+3de<a=10, ou alpha=10-3de<a.
Na segunda equação alpha+2gamma=5 fica
(10-3de<a)+2gamma=5;Longrightarrow;2gamma-3de<a=-5
Na quarta:
alpha+beta+gamma+2de<a=8 ;Longrightarrow;(10-3de<a)+(-1)+gamma+2de<a=8 ;Longrightarrow;gamma-de<a=-1
Resolvendo
gamma-de<a=-1 e 2gamma-3de<a=-5, achamos de<a=3, gamma=2.
Então alpha=10-3cdot3=1 e beta=-1.

Passo 6

Assim
[v]B=(alpha,beta,gamma,de<a)=(1,-1,2,3)

Resposta

(a) (19,14,-3,18)
(b) (1,-1,2,3)B

Exercícios relacionados