Determine o polinômio característico, os autovalores e os autovetores das seguintes matrizes:
(lll0 & 1 & 2 0 & 0 & 3 0 & 0 & 0)

Passo 1

O enunciado pede o polinômio característico, os autovalores e os autovetores da matriz
A = 0 & 1 & 2 0 & 0 & 3 0 & 0 & 0
O conteúdo envolve a propriedade de que uma matriz triangular tem determinante igual ao produto dos elementos da diagonal, além de resolver o sistema (A-lambda I)v=0 para encontrar os autovetores.

Passo 2

Para obter o polinômio característico calculamos
det(A - lambda I) =det -lambda & 1 & 2 0 & -lambda & 3 0 & 0 & -lambda
Como a matriz é triangular superior, o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal:
det(A - lambda I)=(-lambda),(-lambda),(-lambda)=-lambda^3

Passo 3

Os autovalores são as raízes de det(A-lambda I)=0, ou seja
-lambda^3 = 0 Longrightarrow lambda = 0
com multiplicidade algébrica igual a 3.

Passo 4

Para achar os autovetores resolvemos
Da segunda equação vem . O componente fica livre. Logo o espaço próprio é
ou seja, todos os vetores proporcionais a .

Resposta

O polinômio característico é
p(lambda)=det(A-lambda I)=-lambda^3
O único autovalor é
lambda=0(mu< alg 3)
Os autovetores associados são todos os vetores da forma
x00, xneq0,
por exemplo 100.

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