Questão 4 Considere a função
dada por
.
(a) Verifique que
é uma transformação linear.
(b) Encontre uma base para o núcleo de
.
(c) Encontre uma base para a imagem de
.
(d)
é injetora?
é sobrejetora? Justifique.
(b) Encontre uma base para o núcleo de
(c) Encontre uma base para a imagem de
(d)
Passo 1
O enunciado define a aplicação
e pede para:
- Verificar que
é linear. - Determinar uma base de
. - Determinar uma base de
. - Verificar se
é injetora e se é sobrejetora.
O conteúdo necessário engloba definição de transformação linear, cálculo de núcleo (kernel), cálculo de imagem e critério de injetividade/sobrejetividade em termos de núcleo e dimensão da imagem.
Passo 2
Para mostrar que
é linear, precisamos verificar duas propriedades para quaisquer vetores
,
em
e qualquer escalar
:
-
Aditividade:
-
Homogeneidade:
Como ambas valem,
é de fato uma transformação linear.
Passo 3
O núcleo de
Isto é, devemos resolver o sistema
Da primeira equação segue , ou seja,
. A coordenada
é livre. Logo
Uma base de
é
.
Passo 4
A imagem de
é o subespaço de
gerado pelos vetores
, onde
,
,
. Calculamos:
Portanto
Os vetores
e
são linearmente independentes em
, logo eles formam uma base de
.
Passo 5
Usamos critérios de núcleo e dimensão:
- Injetividade:
é injetora se e somente se . Aqui tem dimensão 1, não é trivial, logo não é injetora. - Sobrejetividade:
é sobrejetora se . Como (base com 2 vetores) e , segue . Logo é sobrejetora.
Resposta
(a)
é linear por satisfazer aditividade e homogeneidade.
(b) Uma base de é
.
(c) Uma base de é
.
(d) não é injetora (kernel não trivial) e é sobrejetora (
).
(b) Uma base de
(c) Uma base de
(d)