Questão 4 Considere a função T: R^3 R^2 dada por
/ 3 p.
T(x, y, z)=(x, x+y)
(a) Verifique que T é uma transformação linear.
(b) Encontre uma base para o núcleo de T.
(c) Encontre uma base para a imagem de T.
(d) T é injetora? T é sobrejetora? Justifique.

Passo 1

O enunciado define a aplicação
Tcolon R^3 to R^2, T(x,y,z) = (,x,;x+y,)
e pede para:
  1. Verificar que T é linear.
  2. Determinar uma base de ker T.
  3. Determinar uma base de ImT.
  4. Verificar se T é injetora e se é sobrejetora.
O conteúdo necessário engloba definição de transformação linear, cálculo de núcleo (kernel), cálculo de imagem e critério de injetividade/sobrejetividade em termos de núcleo e dimensão da imagem.

Passo 2

Para mostrar que T é linear, precisamos verificar duas propriedades para quaisquer vetores u=(x1,y1,z1), v=(x2,y2,z2) em R^3 e qualquer escalar alphainR:
  1. Aditividade:
    T(u+v) = Tl(x1+x2,;y1+y2,;z1+z2r) = l(x1+x2,;(x1+x2)+(y1+y2)r) = l(x1,x1+y1r) + l(x2,x2+y2r) = T(u) + T(v)
  2. Homogeneidade:
    T(alpha u) = T(alpha x1,;alpha y1,;alpha z1) = l(alpha x1,;alpha x1 + alpha y1r) = alphal(x1,x1+y1r) = alpha,T(u)
Como ambas valem, T é de fato uma transformação linear.

Passo 3

O núcleo de
Isto é, devemos resolver o sistema
Da primeira equação segue , ou seja, . A coordenada é livre. Logo
Uma base de é .

Passo 4

A imagem de T é o subespaço de R^2 gerado pelos vetores T(ei), onde e1=(1,0,0), e2=(0,1,0), e3=(0,0,1). Calculamos:
T(e1) = T(1,0,0) = (1,1), T(e2) = T(0,1,0) = (0,1), T(e3) = T(0,0,1) = (0,0)
Portanto
ImT = span(1,1),,(0,1)
Os vetores (1,1) e (0,1) são linearmente independentes em R^2, logo eles formam uma base de ImT.

Passo 5

Usamos critérios de núcleo e dimensão:
  • Injetividade: T é injetora se e somente se ker T = 0. Aqui ker T tem dimensão 1, não é trivial, logo T não é injetora.
  • Sobrejetividade: T é sobrejetora se ImT = R^2. Como diml(ImTr)=2 (base com 2 vetores) e dim(R^2)=2, segue ImT=R^2. Logo T é sobrejetora.

Resposta

(a) T é linear por satisfazer aditividade e homogeneidade.
(b) Uma base de ker T é (0,0,1).
(c) Uma base de ImT é (1,1),,(0,1).
(d) T não é injetora (kernel não trivial) e é sobrejetora ( ImT=R^2).

Exercícios relacionados