Determine o polinômio característico, os autovalores e os autovetores das seguintes matrizes:
(rr1 & -1 -4 & 1)

Passo 1

O enunciado pede o polinômio característico, os autovalores e os autovetores da matriz
A = 1 & -1 -4 & 1
O conteúdo envolvido é cálculo de determinante de A - lambda I, solução da equação quadrática para achar lambda, e resolução de sistemas lineares para encontrar vetores próprios.

Passo 2

Calculamos o polinômio característico
A - lambda I = 1-lambda & -1 -4 & 1-lambda
p(lambda) = det(A - lambda I) = (1-lambda)^2 - (-1)cdot(-4) = (1-lambda)^2 - 4 = lambda^2 - 2lambda - 3

Passo 3

Para achar os autovalores, resolvemos
p(lambda)=0 Longrightarrow lambda^2 - 2lambda - 3 = 0
Pela fórmula de Bhaskara,
lambda = 2 pm raiz(-2)^2 - 4cdot1cdot(-3)2 = 2 pm raiz4 + 122 = 2 pm 42,
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lambda1 = 3 e lambda2 = -1.

Passo 4

Para lambda1 = 3 resolvemos (A - 3I)v = 0:
A - 3I = -2 & -1 -4 & -2,
da primeira linha -2x - y = 0 segue y = -2x. Um autovetor correspondente é
v1 = 1 -2

Passo 5

Para lambda2 = -1 resolvemos (A + I)v = 0:
A - (-1)I = 2 & -1 -4 & 2,
da primeira linha 2x - y = 0 segue y = 2x. Um autovetor correspondente é
v2 = 1 2

Resposta

Polinômio característico:
p(lambda) = lambda^2 - 2lambda - 3
Autovalores:
lambda1 = 3, lambda2 = -1
Autovetores:
v1 = 1 -2 para lambda1 = 3, v2 = 1 2 para lambda2 = -1

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