Questão 2 Considere o R-espaço vetorial M2(R) e o seu subespaço W=[A1, A2, A3], em que
A1=[ll 0 & 2 4 & 6 ], A2=[ll 6 & 3 0 & 0 ] e A3=[ll 2 & 2 2 & 2 ]
Qual a dimensão de W ? Justifique.

Passo 1

Estamos num espaço vetorial real M2(R) e temos o subespaço
W = [A1, A2, A3]
gerado por
A1 = 0 & 2 4 & 6, A2 = 6 & 3 0 & 0, A3 = 2 & 2 2 & 2
O que precisamos é da dimensão de W, i.e., o número máximo de matrizes linearmente independentes entre estas três.

Passo 2

Para verificar independência linear, transformamos cada matriz em um vetor de R^4 usando a base canônica
E11,E12,E21,E22. Assim:
A1 mapsto (0,2,4,6), A2 mapsto (6,3,0,0), A3 mapsto (2,2,2,2)

Passo 3

Escrevemos a combinação linear nula
c1(0,2,4,6) + c2(6,3,0,0) + c3(2,2,2,2) = (0,0,0,0)
que gera o sistema
6c2 + 2c3 = 0, 2c1 +3c2 +2c3 = 0, 4c1 +2c3 = 0, 6c1 +2c3 = 0
Das duas últimas equações vem
4c1 +2c3=0Rightarrow c3=-2c1,
6c1 +2c3=0Rightarrow 6c1+2(-2c1)=2c1=0Rightarrow c1=0;Rightarrow;c3=0
Substituindo em 6c2+2c3=0 c2=0. Logo a única solução é trivial.

Passo 4

Como só a solução trivial existe, A1,A2,A3 são linearmente independentes. Logo eles formam uma base de W e
dim W = 3

Resposta

dim W = 3.

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