Determine o polinômio característico, os autovalores e os autovetores das seguintes matrizes:
(rrr-1 & 0 & 1 3 & 0 & -3 1 & 0 & -1).

Passo 1

O enunciado pede, para a matriz
A = -1 & 0 & 1 3 & 0 & -3 1 & 0 & -1 ,
que a gente determine o polinômio característico, os autovalores e os autovetores.
O assunto aqui é Álgebra Linear, mais especificamente o problema de autovalores, que envolve calcular det(lambda I - A) e depois resolver (A - lambda I)x=0.

Passo 2

Construímos lambda I - A e calculamos seu determinante para achar o polinômio característico:
lambda I - A = lambda+1 & 0 & -1 -3 & lambda & 3 -1 & 0 & lambda+1
Como a segunda coluna tem zeros em linhas 1 e 3, expandimos em cofatores pela coluna 2:
det(lambda I - A) = (lambda),detlambda+1 & -1 -1 & lambda+1 = lambdal((lambda+1)^2 - (-1)cdot(-1)r) = lambda(lambda^2 + 2lambda) = lambda^2(lambda+2)

Passo 3

Os autovalores são as raízes do polinômio lambda^2(lambda+2)=0. Logo,
lambda1 = 0(mu<iplicidade 2), lambda2 = -2(mu<iplicidade 1)

Passo 4

Para lambda = -2 resolvemos
(A - (-2)I)x = (A + 2I)x = 0
Temos
A + 2I = 1 & 0 & 1 3 & 2 & -3 1 & 0 & 1 ,
de onde as equações são
x1 + x3 = 0, 3x1 + 2x2 - 3x3 = 0,
que reduzem a x3 = -x1 e x2 = -3x1. Tomando x1=1, obtemos o autovetor
v-2 = 1-3-1

Passo 5

Para resolvemos :
, isto é, , e fica livre. Assim
Uma base de autovetores para é dada por

e

Resposta

Polinômio característico:
lambda^2(lambda+2)
Autovalores:
0 (mu< 2), -2 (mu< 1)
Autovetores:
lambda = -2:; 1-3-1; lambda = 0:; 101,; 010

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