Determine o polinômio característico, os autovalores e os autovetores das seguintes matrizes:
(rrr1 & 0 & 0 -1 & 3 & 0 3 & 2 & -2)

Passo 1

O enunciado pede o polinômio característico, os autovalores e os autovetores da matriz
A = 1 & 0 & 0 [-4pt] -1 & 3 & 0 [-4pt] 3 & 2 & -2
O conteúdo envolve álgebra linear: determinante de A - lambda I para obter o polinômio, raiz desse polinômio para achar os autovalores e resolução de (A-lambda I)x=0 para cada autovalor a fim de obter os autovetores.]

Passo 2

Formamos
A - lambda I = 1-lambda & 0 & 0 [-4pt] -1 & 3-lambda & 0 [-4pt] 3 & 2 & -2-lambda
Como essa matriz é triangular inferior (todos os elementos acima da diagonal principal são zero), o determinante é o produto dos elementos da diagonal:
det(A - lambda I) = (1 - lambda),(3 - lambda),(-2 - lambda) ]

Passo 3

Para encontrar os autovalores, igualamos o determinante a zero e resolvemos:
(1 - lambda),(3 - lambda),(-2 - lambda) = 0
Logo os autovalores são
lambda1 = 1, lambda2 = 3 e lambda3 = -2.

Passo 4

Para lambda1 = 1, resolvemos (A - I)x = 0. Temos
A - I = 0 & 0 & 0 [-4pt] -1 & 2 & 0 [-4pt] 3 & 2 & -3 , x = x y z,
o que gera as equações
-,x + 2y = 0, 3x + 2y - 3z = 0
Da primeira vem x = 2y. Substituindo na segunda:
3(2y) + 2y - 3z = 8y - 3z = 0 ;Longrightarrow; z = tfrac83y
Tomando y = 3 para evitar frações, obtemos
x = 6, y = 3, z = 8,
ou seja, um autovetor associado a lambda1=1 é
v1 = 638 ]

Passo 5

Para lambda2 = 3, resolvemos (A - 3I)x = 0:
A - 3I = -2 & 0 & 0 [-4pt] -1 & 0 & 0 [-4pt] 3 & 2 & -5
As equações são
-2x = 0 ;Longrightarrow; x=0, 3x + 2y - 5z = 2y - 5z = 0 ;Longrightarrow; y = tfrac52z
Tomando z = 2, fica y = 5. Um autovetor é
v2 = 052 ]

Passo 6

Para lambda3 = -2, resolvemos (A + 2I)x = 0:
A + 2I = 3 & 0 & 0 [-4pt] -1 & 5 & 0 [-4pt] 3 & 2 & 0
Da primeira equação 3x=0 vem x=0. Da segunda -x + 5y =0 vem y=0. O terceiro 3x + 2y =0 é automático. Assim z é livre; escolhendo z=1 obtemos o autovetor
v3 = 001 ]

Resposta

Polinômio característico:
det(A - lambda I) = (1 - lambda),(3 - lambda),(-2 - lambda)
Autovalores:
lambda1=1, lambda2=3, lambda3=-2.
Autovetores correspondentes:
v1 = 638, v2 = 052, v3 = 001

Exercícios relacionados