Determine o polinômio caraterístico, os autovalores e autovetores das seguintes matrizes
[ccc0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 -1 & 0 & 0]

Passo 1

Temos a matriz
A = 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 -1 & 0 & 0
O que se pede é o polinômio característico, os autovalores e os autovetores de A. Para isso, vamos usar o conceito de determinante de A - lambda I, fatoração do polinômio característico e depois resolver o sistema (A - lambda I)v = 0.

Passo 2

Formamos A - lambda I e calculamos seu determinante:
A - lambda I = -lambda & 1 & 0 0 & -lambda & 1 -1 & 0 & -lambda
Expandindo pela primeira linha,
det(A - lambda I) = (-lambda)det!-lambda & 10 & -lambda -1cdotdet!0 & 1-1 & -lambda = -lambdal((-lambda)(-lambda)-0r)-l(0cdot(-lambda)-1cdot(-1)r) =-lambda^3 -1

Passo 3

O polinômio característico é
chi(lambda)=det(A-lambda I)=-lambda^3-1=-l(lambda^3+1r)
As raízes de chi(lambda)=0 satisfazem lambda^3+1=0, isto é, as três raízes cúbicas de -1:
lambdak = e^i(pi+2pi k)/3, k=0,1,2,
ou explicitamente
lambda0=-1,
lambda1=e^ipi/3=tfrac12 + i,tfracraiz32,
lambda2=e^-ipi/3=tfrac12 - i,tfracraiz32.

Passo 4

Para cada autovalor
temos das duas primeiras equações
A terceira fica
é

Resposta

O polinômio característico é
chi(lambda)=lambda^3+1
Os autovalores são
lambda0=-1, lambda1=e^ipi/3, lambda2=e^-ipi/3
Um conjunto de autovetores correspondentes é
v0 = 1 -1 1, v1 = 1 e^ipi/3 e^2ipi/3, v2 = 1 e^-ipi/3 e^-2ipi/3

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