Determine o polinômio caraterístico, os autovalores e autovetores das seguintes matrizes
[cc-1 & 3 0 & 1]

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A = -1 & 3 0 & 1
e pede o polinômio característico, os autovalores e os autovetores.
O conteúdo aqui é teoria de autovalores e autovetores para matrizes quadradas de ordem 2, usando a definição
p(lambda)=det(A - lambda I)

Passo 2

Subtraímos lambda da diagonal de A e calculamos o determinante:
A - lambda I = -1-lambda & 3 0 & 1-lambda
p(lambda) = det(A - lambda I) = (-1-lambda),(1-lambda) - 0 = lambda^2 - 1

Passo 3

Fatoramos o polinômio característico:
lambda^2 - 1 = (lambda - 1),(lambda + 1)
Logo os autovalores são
lambda1 = 1 e lambda2 = -1.

Passo 4

Para lambda1 = 1 resolvemos (A - I)v = 0:
-2 & 3 0 & 0 x y = 0 0
da primeira linha vem -2x + 3y = 0, ou seja y = tfrac23x.
Um autovetor associado é
v1 = 3 2.

Passo 5

Para lambda2 = -1 resolvemos (A + I)v = 0:
0 & 3 0 & 2 x y = 0 0
da segunda linha vem 2y = 0 e da primeira 3y = 0, logo y=0 e x é livre.
Um autovetor associado é
v2 = 1 0.

Resposta

Polinômio característico:
p(lambda) = lambda^2 - 1
Autovalores: lambda1 = 1, lambda2 = -1.
Autovetores: para lambda1=1 temos v1 = (3,2)^T (até constante não nula) e para lambda2=-1 temos v2 = (1,0)^T (até constante não nula).

Exercícios relacionados