Determine o polinômio caraterístico, os autovalores e autovetores das seguintes matrizes
[ccc1 & 0 & 2 1 & 1 & 2 -1 & 0 & 1]

Passo 1

O enunciado pede o polinômio característico, os autovalores e autovetores da matriz
A = 1 & 0 & 2 1 & 1 & 2 -1 & 0 & 1
O conteúdo é teoria de autovalores e autovetores: vamos usar o determinante de A - lambda I para achar o polinômio característico p(lambda)=det(A-lambda I), depois resolver p(lambda)=0 para obter os autovalores lambda, e por fim resolver (A-lambda I)x=0 para cada lambda a fim de achar um autovetor não-nulo.

Passo 2

Montamos
A - lambda I = 1-lambda & 0 & 2 1 & 1-lambda & 2 -1 & 0 & 1-lambda
Como a segunda coluna tem zeros na primeira e na terceira entradas, expandimos det(A-lambda I) por essa coluna:
p(lambda)=det(A-lambda I) =(1-lambda)det1-lambda & 2 -1 & 1-lambda
Agora
det1-lambda & 2 -1 & 1-lambda =(1-lambda)^2 - (-1)cdot2 =(1-lambda)^2 + 2
Logo
p(lambda)=(1-lambda)l[(1-lambda)^2+2r]

Passo 3

Para achar os autovalores, resolvemos p(lambda)=0:
(1-lambda)l[(1-lambda)^2+2r]=0
Daí vêm
1-lambda=0Rightarrow lambda1=1,
e
(1-lambda)^2+2=0Rightarrow ( lambda-1)^2=-2
Rightarrow lambda2,3=1pm iraiz2

Passo 4

Agora achamos um autovetor para
O sistema é
Daí , e fica livre. Tomando obtemos

Passo 5

Para lambda2=1+iraiz2, escrevemos
A - lambda2 I = -,iraiz2 & 0 & 2 1 & -,iraiz2 & 2 -1 & 0 & -,iraiz2 ,
e resolvemos (A-lambda2 I)(x,y,z)^T=0. Das equações vem
-,iraiz2,x + 2z =0 Rightarrow x=-,iraiz2,z,
x-,iraiz2,y+2z=0 Rightarrow y =(-1 - iraiz2),z,
e a terceira linha confirma x=-,iraiz2,z. Tomando z=1, um autovetor é
v2 = -,iraiz2-,1 - iraiz21

Passo 6

Para lambda3=1 - iraiz2, pelo conjugado, obtemos autovetor conjugado de v2, ou seja, tomando z=1:
v3 = iraiz2-,1 + iraiz21

Resposta

Polinômio característico:
p(lambda)=det(A-lambda I)=(1-lambda)l[(1-lambda)^2+2r]
Autovalores:
lambda1=1, lambda2=1+iraiz2, lambda3=1-iraiz2
Autovetores correspondentes:
v1=010, v2=-,iraiz2-,1 - iraiz21, v3=iraiz2-,1 + iraiz21

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