Determine o polinômio caraterístico, os autovalores e autovetores das seguintes matrizes
[ll0 & 4 3 & 0]

Passo 1

O enunciado pede o polinômio característico, os autovalores e os autovetores da matriz
A = 0 & 4 3 & 0
O que vamos usar: definição de polinômio característico p(lambda)=det(A-lambda I), depois resolver p(lambda)=0 para achar os autovalores lambda e, em seguida, encontrar vetores não nulos que satisfaçam (A-lambda I)v=0.

Passo 2

Calculamos o polinômio característico por
p(lambda) = detl(A - lambda Ir) = det-lambda & 4 3 & -lambda = (-lambda)(-lambda) - 4 cdot 3 = lambda^2 - 12

Passo 3

Para obter os autovalores, resolvemos
lambda^2-12=0 Longrightarrow lambda=pmraiz12=pm2raiz3

Passo 4

Para lambda1 = 2raiz3, resolvemos
(A - lambda1 I)v = 0 Longrightarrow -2raiz3 & 4 3 & -2raiz3 x y = 0
Da primeira linha vem -2raiz3 cdot x + 4y = 0, logo y = tfracraiz32 x. Escolhendo x = 2, temos y = raiz3. Um autovetor associado é
v1 = 2 raiz3

Passo 5

Para lambda2 = -2raiz3, resolvemos
(A - lambda2 I)v = 0 Longrightarrow 2raiz3 & 4 3 & 2raiz3 x y = 0
Da primeira linha vem 2raiz3 cdot x + 4y = 0, logo y = -tfracraiz32 x. Escolhendo x = 2, temos y = -raiz3. Um autovetor associado é
v2 = 2 -raiz3

Resposta

Polinômio característico:
p(lambda)=lambda^2-12
Autovalores:
lambda1=2raiz3, lambda2=-2raiz3.
Autovetores:
para lambda1=2raiz3, v1=(2,raiz3)^T;
para lambda2=-2raiz3, v2=(2,-raiz3)^T.

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