Seja A uma matriz 2 times 2 com autovalores 3 e 1 / 3 e autovetores correspondentes v1=[l1 1] e v2=[r-1 1]. Seja x0=[l2 1]. Encontre a solução do problema de valor inicial x^prime=A x, x(0)=x0.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema de EDO
x'=A,x, x(0)=x0
onde A é 2times2, diagonalizável, com autovalores lambda1=3, lambda2=tfrac13 e autovetores
v1=11, v2=-11,
e x0=21.
Para resolver, usamos que, em coordenadas de autovetores, a solução é combinação de e^lambdai tvi.

Passo 2

Primeiro expressamos
x0=c1v1+c2v2
Isso gera o sistema
c111 +c2-11 =21,
ou seja
c1 - c2 = 2, c1 + c2 = 1

Passo 3

Resolvendo
c1 - c2 = 2, c1 + c2 = 1
somamos as duas equações: 2c1=3 logo c1=tfrac32.
Substituindo em c1+c2=1 c2=1-tfrac32=-tfrac12.

Passo 4

A solução geral em diagonalização é
x(t) = c1 e^lambda1 tv1 + c2 e^lambda2 tv2 = tfrac32,e^3t11 -tfrac12,e^t/3-11

Passo 5

Distribuindo e somando componentes, obtém-se
x(t) = tfrac32 e^3t+tfrac12 e^t/3[6pt] tfrac32 e^3t-tfrac12 e^t/3 =12 3e^3t+e^t/3[4pt] 3e^3t-e^t/3 ]

Resposta

boxed x(t) = tfrac32 e^3t+tfrac12 e^t/3[6pt] tfrac32 e^3t-tfrac12 e^t/3 ]

Exercícios relacionados