Determine o polinômio que, dividido por \mathrm{x}-1, tem quociente \mathrm{x}-1 e resto 2 .

Passo 1

O enunciado pede para determinar um polinômio que, ao ser dividido por (\mathrm{x}-1), tenha quociente (\mathrm{x}-1) e resto 2.
Informações dadas:
\text{divisor} = (\mathrm{x}-1),\qquad \text{quociente} = (\mathrm{x}-1),\qquad \text{resto} = 2.

Passo 2

Vou usar o teorema da divisão de polinômios (também chamado de algoritmo da divisão): para quaisquer polinômios P(\mathrm{x}), D(\mathrm{x}) com D(\mathrm{x})\neq 0, existem únicos polinômios Q(\mathrm{x}) e R(\mathrm{x}) tais que
P(\mathrm{x}) = D(\mathrm{x})\cdot Q(\mathrm{x}) + R(\mathrm{x}),
onde ou R(\mathrm{x})=0 ou \deg(R)<\deg(D).
Explicando devagar: P(\mathrm{x}) é o polinômio que queremos; D(\mathrm{x}) é o divisor; Q(\mathrm{x}) é o quociente; R(\mathrm{x}) é o resto. Como D(\mathrm{x})=(\mathrm{x}-1) tem grau 1, o resto tem grau menor que 1, ou seja, é um número constante — aqui já nos foi dado como 2.

Passo 3

Aplicando diretamente a fórmula acima com os dados do enunciado:
P(\mathrm{x}) = (\mathrm{x}-1)\cdot(\mathrm{x}-1) + 2.
Aqui usei D(\mathrm{x})=(\mathrm{x}-1), Q(\mathrm{x})=(\mathrm{x}-1) e R(\mathrm{x})=2. Essa igualdade já constrói o polinômio pedido.

Passo 4

Vamos desenvolver a multiplicação passo a passo, para você ver como fazer na prova sem pular etapas.
Primeiro calcule (\mathrm{x}-1)(\mathrm{x}-1). Multiplicando termo a termo:
\mathrm{x}\cdot\mathrm{x} = \mathrm{x}^2,
\mathrm{x}\cdot(-1) = -\mathrm{x},
(-1)\cdot\mathrm{x} = -\mathrm{x},
(-1)\cdot(-1) = 1.
Somando tudo:
(\mathrm{x}-1)(\mathrm{x}-1)=\mathrm{x}^2 - \mathrm{x} - \mathrm{x} + 1 = \mathrm{x}^2 - 2\mathrm{x} + 1.
Agora some o resto 2:
P(\mathrm{x}) = \mathrm{x}^2 - 2\mathrm{x} + 1 + 2 = \mathrm{x}^2 - 2\mathrm{x} + 3.

Passo 5

Verificação rápida (útil na prova): pela propriedade do resto, se dividimos por (\mathrm{x}-1) então P(1) deve ser igual ao resto 2. Calcule:
P(1)=1^2 - 2\cdot 1 + 3 = 1 -2 +3 = 2,
concorda com o resto dado. Além disso, como escrevemos P(\mathrm{x})=(\mathrm{x}-1)(\mathrm{x}-1)+2, o quociente é de fato (\mathrm{x}-1) e o resto 2. Tudo consistente.

Passo 6

Observação final e dica de prova: o polinômio é único porque, dado divisor, quociente e resto fixos, a expressão D\cdot Q + R determina P sem ambiguidade. Na prova, sempre que souber o divisor e o resto, use P(\mathrm{x})=D(\mathrm{x})Q(\mathrm{x})+R(\mathrm{x}); se D(\mathrm{x})=\mathrm{x}-a, lembre-se também que R=P(a).

Resposta

\mathrm{x}^2 - 2\mathrm{x} + 3

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