Determine o polinômio que, dividido por
, tem quociente
e resto 2 .
Passo 1
O enunciado pede para determinar um polinômio que, ao ser dividido por
, tenha quociente
e resto
.
Informações dadas:
Passo 2
Vou usar o teorema da divisão de polinômios (também chamado de algoritmo da divisão): para quaisquer polinômios
,
com
, existem únicos polinômios
e
tais que
onde ou
ou
.
Explicando devagar:
é o polinômio que queremos;
é o divisor;
é o quociente;
é o resto. Como
tem grau
, o resto tem grau menor que
, ou seja, é um número constante — aqui já nos foi dado como
.
Passo 3
Aplicando diretamente a fórmula acima com os dados do enunciado:
Aqui usei
,
e
. Essa igualdade já constrói o polinômio pedido.
Passo 4
Vamos desenvolver a multiplicação passo a passo, para você ver como fazer na prova sem pular etapas.
Primeiro calcule
. Multiplicando termo a termo:
Somando tudo:
Agora some o resto
:
Passo 5
Verificação rápida (útil na prova): pela propriedade do resto, se dividimos por
então
deve ser igual ao resto
. Calcule:
concorda com o resto dado. Além disso, como escrevemos
, o quociente é de fato
e o resto
. Tudo consistente.
Passo 6
Observação final e dica de prova: o polinômio é único porque, dado divisor, quociente e resto fixos, a expressão
determina
sem ambiguidade. Na prova, sempre que souber o divisor e o resto, use
; se
, lembre-se também que
.