x 0 1 2 3
f(x) 1 0 -1 0
(a) Determine o polinômio interpolador p(x) da tabela na forma de Newton usando diferenças simples.
(b) Estime o erro da interpolação, ou seja, encontre uma cota superior para |f(x)-p(x)|, x in[0,3].

Passo 1

Estamos interpolando os pontos (0,1), (1,0), (2,−1) e (3,0) usando o polinômio de Newton com diferenças finitas. Vamos precisar da tabela de diferenças simples e da fórmula de Newton para polinômios de grau ≤3.

Passo 2

Montamos a tabela de diferenças em x=0,1,2,3:
f: 1 0 −1 0
Δf: −1 −1 1
Δ²f: 0 2
Δ³f: 2
Aqui Δf(i)=f(i+1)−f(i), Δ²f(i)=Δf(i+1)−Δf(i), etc.

Passo 3

A forma de Newton (base nos nós 0,1,2) é
p(x)=f(0)+Δf(0)(x−0)+\frac{Δ²f(0)}{2!}(x−0)(x−1)+\frac{Δ³f(0)}{3!}(x−0)(x−1)(x−2).
Substituindo Δf(0)=−1, Δ²f(0)=0, Δ³f(0)=2, obtemos
p(x)=1+(−1)x+0+\frac{2}{6}x(x−1)(x−2)=1−x+\frac{1}{3}x(x−1)(x−2).

Passo 4

Expandindo p(x):
x(x−1)(x−2)=x³−3x²+2x, logo
p(x)=1−x+\frac{1}{3}(x³−3x²+2x)=\frac{1}{3}x³−x²−\frac{1}{3}x+1.

Passo 5

Para o erro de interpolação em [0,3] usamos o termo de resto de Lagrange:
f(x)−p(x)=\frac{f^{(4)}(ξ)}{4!},(x)(x−1)(x−2)(x−3),
para algum ξ entre 0 e 3.

Passo 6

Calculamos M=max_{ξ∈[0,3]}|f^{(4)}(ξ)| e
max_{x∈[0,3]}|x(x−1)(x−2)(x−3)|=1.
Logo uma cota é
|f(x)−p(x)|≤\frac{M}{4!}·1=\frac{M}{24}.

Passo 7

Se soubermos f(x) (por exemplo f(x)=cos(πx/2)), tomaríamos M=(π/2)⁴ e obteríamos |f(x)−p(x)|≤π⁴/384.

Resposta

p(x)=1−x+\tfrac{1}{3}x(x−1)(x−2)=\tfrac{1}{3}x³−x²−\tfrac{1}{3}x+1
E |f(x)−p(x)|≤\frac{M}{24}, em que M=\max_{ξ∈[0,3]}|f^{(4)}(ξ)|. Caso f(x)=cos(πx/2), então |f(x)−p(x)|≤π⁴/384.

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