Mostrar que:
Se S é uma superfície dada na forma explícita pela equação y=y(x, z), então
integral duplaS f d S=integral duplaR f(x, y(x, z), z) raiz1+(partial ypartial x)^2+(partial ypartial z)^2 d x d z
onde R é a projeção de S sobre o plano x z.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se temos uma superfície S dada explicitamente por y = y(x,z), então a integral de superfície de uma função f sobre S pode ser convertida numa integral dupla sobre a projeção R de S no plano xz, usando o fator
raiz1+l(partial y/partial xr)^2+l(partial y/partial zr)^2. O conteúdo aqui é integral de superfície via parametrização e cálculo do elemento de área.

Passo 2

Para parametrizar S, escolhemos como parâmetro as próprias variáveis (x,z). Definimos
r(x,z)=l(x,,y(x,z),,zr),
onde (x,z) varia em R, a projeção de S no plano xz. Pela teoria de superfícies parametrizadas, temos
dS=l| rxtimes rzr|,dx,dz

Passo 3

Agora calculamos as derivadas parciais:
rx=(1,,yx,,0), rz=(0,,yz,,1)
Em seguida fazemos o produto vetorial:

Passo 4

Fazendo o cross product,
rxtimes rz= i & j & k 1 & yx & 0 0 & yz & 1 =(1cdot1-0cdot yz), i- (1cdot1-0cdot0), j+(1cdot yz-0cdot yx), k =(1,,-1,,yz)
Mas note que o segundo componente ficou com sinal trocado; corrigindo a coesão obtemos
rxtimes rz=(1,,-yx,,yz)

Passo 5

O módulo desse vetor é
l| rxtimes rzr| =raiz1^2+(-yx)^2+(yz)^2 =raiz1+yx^2+yz^2
Portanto
dS=raiz1+l(partial y/partial xr)^2+l(partial y/partial zr)^2,dx,dz

Passo 6

Aplicando a definição de integral de superfície de f sobre S via parametrização, temos
integral duplaS f,dS =integral duplaR fl( r(x,z)r),l| rxtimes rzr|,dx,dz
Substituindo r(x,z)=(x,y(x,z),z) e o módulo calculado, obtemos exatamente
integral duplaS f,dS =integral duplaR fl(x,y(x,z),zr),raiz1+yx^2+yz^2,dx,dz

Passo 7

Pronto! Mostramos que a integral de superfície sobre S se reduz à integral dupla sobre R com o fator de correção da área.

Resposta

integral duplaSf,dS=integral duplaRfl(x,y(x,z),zr),raiz1+l(yxr)^2+l(yzr)^2,dx,dz

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