Mostrar que:
Se é uma superfície dada na forma explícita pela equação , então
onde é a projeção de sobre o plano .
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se temos uma superfície S dada explicitamente por y = y(x,z), então a integral de superfície de uma função f sobre S pode ser convertida numa integral dupla sobre a projeção R de S no plano xz, usando o fator
. O conteúdo aqui é integral de superfície via parametrização e cálculo do elemento de área.
Passo 2
Para parametrizar S, escolhemos como parâmetro as próprias variáveis (x,z). Definimos
onde (x,z) varia em R, a projeção de S no plano xz. Pela teoria de superfícies parametrizadas, temos
Passo 3
Agora calculamos as derivadas parciais:
rx=(1,,yx,,0), rz=(0,,yz,,1)
Em seguida fazemos o produto vetorial:
Passo 4
Fazendo o cross product,
rxtimes rz= i & j & k 1 & yx & 0 0 & yz & 1 =(1cdot1-0cdot yz), i- (1cdot1-0cdot0), j+(1cdot yz-0cdot yx), k =(1,,-1,,yz)
Mas note que o segundo componente ficou com sinal trocado; corrigindo a coesão obtemos