Verifique se a sequência dada é convergente ou divergente:
(b)
(b)
Passo 1
Aqui temos a sequência
. Nosso objetivo é verificar se essa sequência é convergente ou divergente. Para isso, vamos usar conceitos de limites e comportamento de funções exponenciais e lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão:
Observamos que no numerador temos uma função linear (
) e no denominador uma função exponencial (
). Geralmente, funções exponenciais crescem muito mais rápido que funções lineares.
Passo 3
Para determinar o limite da sequência quando
tende ao infinito, calculamos:
Sabemos que, para qualquer base
, o limite
, porque a função exponencial domina a função linear conforme
aumenta.
Passo 4
Aplicando essa informação à nossa sequência:
Portanto,
Resposta
A sequência
é convergente e seu limite é
.