Verifique se a sequência dada é convergente ou divergente:
(b) n3^n+1

Passo 1

Aqui temos a sequência n3^n+1. Nosso objetivo é verificar se essa sequência é convergente ou divergente. Para isso, vamos usar conceitos de limites e comportamento de funções exponenciais e lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão:
n3^n+1 = n3 cdot 3^n = n3^n+1
Observamos que no numerador temos uma função linear ( n) e no denominador uma função exponencial ( 3^n+1). Geralmente, funções exponenciais crescem muito mais rápido que funções lineares.

Passo 3

Para determinar o limite da sequência quando n tende ao infinito, calculamos:
limn to infty n3^n+1 = limn to infty n3 cdot 3^n = 13 limn to infty n3^n
Sabemos que, para qualquer base a > 1, o limite limn to infty na^n = 0, porque a função exponencial domina a função linear conforme n aumenta.

Passo 4

Aplicando essa informação à nossa sequência:
limn to infty n3^n = 0
Portanto,
limn to infty n3^n+1 = 13 cdot 0 = 0

Resposta

A sequência n3^n+1 é convergente e seu limite é 0.

Exercícios relacionados